C, PHP, VB, .NET

Представям ви препис от записки по четвъртата лекция на проф. Иван Ганчев на вече несъществуващата избираема дисциплина „Теоретични основи на обучението по математика“. Темата засяга основните въпроси около реформите в обучението па математика между 1969 г. и 1972 г.

Постепенно започват да се отчитат някои неприятни тенденции в училищното образование като следствие на някои от проведените реформи в края на 60-те. Масово учители и родители продължават смятат, че учебно съдържание по математика е откъснато от практиката през първите 5-6 години на училищното образование. В аритметиката се развиват предимно изчислителни навици и умения за решаване на текстови задачи с аритметични методи. В алгебрата се изучават преобразувания на изрази, решаване на уравнения и някои техни приложения. В геометрията се изучава свойства на някои фигури и формули за намиране на лица и обеми. Чрез тригонометрията се осъществява известно обединяване на наученото по геометрия и по алгебра, но то е съвсем незадоволително. Поради това, че не се използват основни обединяващи идеи и потяния на съвременната математика, съдържанието на училищния курс е претоварен със значителни на брой разпокъсани и бедни в математическо отношение факти. Всичко това освен, че отнема много време и сили за учениците, създава и излишни прагове при преминаването от една степен на обучение в друга.

Маркушевич в Математика в школе, кн. 6 от 1969 г., стр. 22. описва три основни фактора, които влияят за така набелязаните проблеми:

• Небивалият разцвет на математическите идеи и методи изразяващ се както в развитието на общите класически теории, такива като математическа логика, алгебрата, топологията, функционалния анализ, теория на вероятностите, и др., така и появата на нови дисциплини, свързани с новите области на приложение на метамитаката (теория на информацията, теория на графите, теория на игрите, линейно програмиране, динамично програмиране, и др.);
• Все по-голямото разпространение на електронно-изчислителните машини, позволяващи в най-кратък срок да се реализира теоретично решение на извънредно сложни въпроси, довеждайки ги до числови резултати, благодарение на което успехите на математическата теория остават забележими за широките кръгове на населението;
• Изясняване на обобщаващите принципи и концепции и систематизация на огромния, натрупан от математиката фактически материал, което позволява на човека без използването на много сили да се ориентира в цялото това богатство от идеи и факти.

Независимо от признаването на важността на тези три фактора, на въпросите какво място трябва да заема математиката в училищното обучение, кои математически понятия и идеи трябва да бъдат застъпени в училищните програми по математика и пр. не могат да се дадат някакви окончателни отговори. В различните държави се вижда, че влияние оказват и други фактори, като например различни цели, които се поставят на училището като цяло, различните форми на образование, различните философски концепции за същността на математиката, и т.н. Все пак интересно е да се отбележи, че учените в различните страни достигат и до съществени общи заключения в това отношение. По-конкретно във връзка с обновяването на съдържанието по математика в международен мащаб се очертават следните основни направления:

1. Теоретико-множествено;
2. Логическо;
3. Векторно;
4. Въвеждане и използване на понятия от общата алгебра;
5. Запознаване с основни въпроси от изчислителната математика;
6. Въвеждане на някои понятия от теория на вероятностите и математическата статистика.

Трябва изрично да се каже, че когато хората, занимаващи се сериозно с въпросите за осъвременяване на съдържанието на училищния курс по математика, говорят за първите четири от изброените направления, те имат предвид не толкова и не на първо място включването на нов допълнителен фактически материал, колкото едно по-съвременно и по-същество много по-просто и разбираемо за учениците изложение на въпросите, които в неявна форма съществуват и в традиционния дотогава курс. В това отношение са интересни мислите на съветския академик Колмогоров, които са публикувани на стр. 5 от списание „Математика в школе“ от 1967 г., където той прави пеценка на новата програма по математика в съветското общообразователно училище и на начина, по който тя се посреща от различните хора:

От страна на много участници в обсъждането рязка критика предизвикваше то - явното споменаване в първия вариант на програмата началните понятия и означения от теория на множествата, математическата статистика и общата алгебра. В разбирането на авторите на проекта работата не е до включване в програмата на допълнителен материал, а на първо място до по-съвременно (и по същество по-просто и достъпно) изложение на въпросите, които в неявна форма се засягат в традиционния курс.

Интересно е да се отбележи още, че навсякъде по света, където са обновени училищните програми в посочените дух и направления, много често колкото тези изменения се оказват трудни за учителите и още повече за родителите, толкова по-лесни и разбираеми се оказваха за учениците. Една от причините за това явление е тази, че учителите и родителите са приникнали със стария начин на третиране на въпросите. Затова те само преповтарят с известна лекота в една или друга форма заученото по-рано, колкото трудно и изкуствено да е то по същество. Освен това даже и след като учителите и родителите усвоят новия подход, все пак за тях той не е така близък и обичаен, както е бил старият и това съответно не им позволява да разсъждават по новия начин със същата лекота. Обратно - новият подход, колкото лек и естествен да е той, все пак изисква предварително да бъде усвоен от учителите и родителите, преди да се прилага, а това предполага нови, допълнителни усилия за тях. Съвсем друго е положението с учениците, за които и старият, и новият подходи трябва тепърва да се усвояват и за тях обучението е по-лесно тогава, когато подходът сам по себе си е по-естествен и съответно по-лесен. А новите предложения бяха точно това.

Малко по-различни са целите на петото и шестото направления. Специално по отношение на петото отново не се изисква да се въвежда някакъв нов фактически материал, но се предлага преди всичко да се продължи изучаването на някои въпроси от традиционния курс по математика, като се разгледат и съответстващи им допълнителни числени методи. По този начин фактически-абстрактното изучаване на тези въпроси се свързва с практиката. А шестото направление цели да въведе изцяло нови теми, с които да се възпита вероятностно мислене. То се налага основно покрай масовостта на навлизане на тези знания в индустрията и икономиката, а и на обществения живот въобще.

Обновяването на съдържанието се съпътства и с обновяване на методите, формите и средствата на обучението. По-конкретно в теорията на обучението по математика се оказа твърде резултатно използването на математическата логика. Тази наука дава едно приблизително, но все пак достатъчно точно описание на реалното мислене на хората. Може да се направи аналогия с геометрията, която дава приблизително, но достатъчно точно описание на реалното пространство за инженерите. Именно като се използва апарата на математическата логика се оказва например, че лесно може да се изявят основните правила на извод, които се прилагат в математическите разсъждения, а също и често допусканите грешки на учащите се. Заедно с това този апарат позволява да се разработи и много по-ефективна методика за развиване на умението на учащите се да разсъждават правилно и продуктивно с аксиоми, дефиниции и теореми. Затова именно постиженията на съвременната психология бяха обвързани с апаратът на математическата логика и това позволи да бъдат разработени постепенно така нареченото „проблемно обучение“ по математика.

Знае се, че в математиката решението на всяка задача се състои от така наредени решения на други задачи-компоненти, т.е. всяко следващо решение съдържа предишни решения. При проблемното обучение по математика се приема метод, с който трудността на решението на задачите се намалява, като предварително се решават повече задачи-компоненти. Казано с други думи, трябва да се инвестира повече в упражнения и затвърждаване на знания, за да може по-лесно впоследствие да се въвеждат нови.

Не на последно място трябва да се отбележи и развитието на техниката. През 50-те и 60-те години тя е развива със сравнително бърза степен. Макар и все още трудно достъпна, компютърната техника предизвиква изследователски интерес. Много учени започват да експериментират и да фантазират с автоматизация на програмирано обучение чрез компютър. А има и чисто прагматични и леснодостъпни скорошни нововъведения. Например прожекционните апарати (шрайбпроектори) започват да дават възможност за кратко време да се показват добре изработени чертежи, графики или снимки на различни изучавани обекти. Именно това потенциално спестено време би могло да се инвестира именно в повече упражнения.

Тук е хубаво да се каже, че измененията в методите и средствата на обучение срещат не по-малка съпротива от измененията в учебното съдържание. При това не става въпрос за някаква нова тенденция от „лудити“, а този процес на консерватизъм към реформи го е имало винаги в историята на човечеството. Например още в XV и XVI век се извършва т.нар. „аритметизиране“ на алгебрата. Дотогава, както е известно, доказателствата в алгебрата са били геометрически. От онова време например е останало геометричното тълкуване на тъждеството (a+b)² = a²+2ab+b². Днес огромната полза от аритметизиране на алгебрата е безспорна, но по времето на Нютон известния английски математик Валис е решил да изложи втората книга на начала на Евклид паралелно аритметично (буквално-символично) и геометрично (традиционно за онова време), за да убеди противниците на буквено-символичния подход, че той много по-удобен и по-лесен. Въпреки тези усилия с нагледно показване на ползата от новите методи, трябвало е да минат десетилетия преди въобще да се прокарат някакви нововъведения в училищата, при това „през задната врата“ от любители на математиката, а не официално.

Тоест може да се каже, че реформата в обучението по математика по света през 60-те години на миналия век не е била случайна, а е била наложена от обществено-икономическото развитие по света. И тук с известно задоволство може да се отбележи, че по-конкретно България не е изостанала, а е следвала идеите за реформи, макар и с леко закъснение. През месец юли 1969 г. на пленум на БКП се обсъждат редица нововъведения за обновяване на съдържанието, методите и формите на обучение по математика, които до известна степен настигат световните тенденции:

• Въвежда се алгебрична пропедевтика още във II, III и IV клас. Именно в тези класове се вкарват елементи от буквената символика и се усвоява решаването и използването на някои уравнения;
• В VII и VIII клас както по геометрия, така и по алгебра се въвеждат явно понятия от теория на множествата. По геометрия се въвеждат еднаквостите на изображение на равнината върху себе си, а геометричните фигури се разглеждат като множества от точки. В VIII клас и в двата предмета се говори явно за обединение и сечение на две множества;
• В учебниците за VII клас се въвеждат по същество някои нови понятия от съвременната алгебра, но в опростен вид, така че да не се претоварват учениците в терминологичен план;
• В програмите за IX, X и XI клас се предвижда, освен утвърждаването и разширяването на вече въведени знания, въвеждането на нови теми свързани в въвеждане на векторния апарат в обучението по геометрия и тригонометрия;
• Вероятностите и статистиката не успяват да се наложат за общообразователните училища, но все пак успяват да намерят почва в математическите гимназии, физико-математическите паралелки и в някои техникуми.

Тоест може да се каже, че България като цяло е успявала да следва тенденциите, които са се обсъждали и предлагали от международната общност. Процесът на реформа обаче изобщо не е спрял и идеите не са се изчерпали само с това. Напротив - продължил е своето бурно развитие.

В края на август 1969 г. Международната комисия по математическо образование (МКМО) провежда в Лион своя I-ви самостоятелен конгрес по въпроси за преподаването на математика. Участват над 700 учени от различни държави. Изнасят се около 20 едночасови доклади. В повечето от тях се разглеждат актуални въпроси на математическото образование, като нерядко има и противоречиви становища, които пораждат сериозни дискусии. Основните нови направления в докладите са:

• Обучението по геометрия за децата от 6 до 11 г.;
• Възможности за аксиоматизация на училищния курс по геометрия;
• Проблемите в ранното въвеждане на елементи от математически анализ и подготовка на учениците от 10 до 12 г. за усвояване на понятието „граница“;
• Мястото за изучаване на елементи от теория на вероятностите и математическа статистика в училище;
• Електронни сметачни машини (калкулатори) в училище.

Паралелно с това не се пропускат и вече обсъждани теми като теоретико-множествените понятия, алгебрични структури, и др. След дискусиите на конгреса се открояват следните тенденции:

1. Наблюдава се известно отдръпване от „ултрасъвременните“ тенденции за модернизиране на училищния курс по математика. Повечето учени се отказват от стремежите към аксиоматизация в ранна училищна възраст, от специално изучаване на математическите структури и от крайно залитане по метода на откритието (изследователския подход);
2. Все още стои под въпрос дали е целесъобразно въвеждането на определени нови идеи и понятия от съвременната математика в училищния курс. Тук понякога се срещат дори полюсни мнения.

Специално внимание е обърнато отново и на подготовката на учителите по математика и съответно на методиката на обучение във връзка с новото учебно съдържание. На изложба се показват много нови учебници. Организират се и показни уроци на деца, които са доведени от Англия.

През август 1971 г. в Краков се състои XIII Международно съвещание на учителите по математика (съорганизирано от МКМО и ЮНЕСКО). Основна тема на събитието е „Проблемът за логическото мислене в обучението по математика“. Основните теми, които се открояват от пленарните доклади, са:

• Какво всъщност е логика?
• Логика в началното обучение (примери от ГДР и от Унгария);
• Въвеждане на формална логика при деца от 10-11 г. възраст (пример от Франция);
• Експериментално изучаване на математическа логика при деца от 12-13 г. възраст (пример от Франция).

Формирани са и четири работни групи:

1. Математическо мислене;
2. Математическа логика за най-малките;
3. Обучението по математическа логика в горните класове;
4. Определието в обучението по математика.

В работните групи се обсъждат редица въпроси като:

• Математическото мислене особен вид мислене ли е?
• Математиците мислят ли математически в нематематически ситуации?
• Каква е целта на математическото развитие?
• Явно или неявно трябва да бъде обучението по логика?
• Вярно ли е, че при формализацията увеличаването на изискванията към точност убива интуицията и усложнява разбирането?
• Каква е ролята на косвените доказателства в развитието на мисленето?

Единодушна поддръжка среща препоръката в учебниците да се отразява не само развитието на чисто математическите знания, но и по определена програма да се акцентира върху развитието на логическото мислене и езика на учащите се. Подчертава се, че работата по развитие на логическото мислене трябва да е свързана преди всичко с развитие на речта (логическите „и“, „или“, и т.н.).

Голяма дискусия предизвиква въпроса за съотношението между опита и логиката в детското мислене. Констатира се, че в математическите съждения се използва език с 3 компоненти:

1. Разговорен;
2. Математически;
3. Логически.

През август 1972 в Ексетер (Англия) се провежда и II Международен конгрес по математическо образование, който е организиран от МКМО. В него вече участниците са над 1300. Като почетни гости са поканени Дьорд Пойа и Жан Пиаже. В пленарните заседания се изнасят 6 едночасови доклада:

1. Природата, човекът и математиката;
2. Математическото образование в СССР;
3. Съвременна математика - съществува ли?;
4. Групите в математиката и тяхното място в обучението (Фройдентал);
5. Математиката в развиващите се страни: някои проблеми на обучението и ученето;
6. Понятието „време“ в перспектива на взаимното развитие на различните култури.

Работата се организира в 30 работни групи, 6 от които се занимават с математическото образование във висши училища. Основните въпроси, които се обсъждат, са:

• Цели на обучението в различните видове училища и изисквания към програмите в тях;
• Оценка на ефективност на новите програми;
• Връзка между историята на математиката и педагогиката;
• Психология на процеса на обучение и учене;
• Математиката като език;
• Съдържание, организация и форми на контрол на резултатите от педагогическите изследвания в областта на училищната математика;
• Съдържание на обучението по математика в различните училищни степени - система за въвеждане на нови понятия и евентуални нови раздели в училищната математика като релации, вектори, матрици и линейно програмиране;
• Междупредметни връзки;
• Извънкласни форми на обучение - олимпиади;
• Методика на обучението - индивидуализация, развитие на изследователско мислене, обучение в решаване на задачи и обучение чрез задачи, използване на учебно-технически средства (включително телевизия и автоматични сметачни машини), обучение на слаби ученици, и др.;
• Ролята на списанията в усъвършенстване на обучението;
• Подготовка на математически кадри (учителски и неучителски);

Проведени са и семинарни занятия.

От споменатите конгреси става отчетливо ясно, че може би няма единствена универсална формула и решение на всички поставени проблеми, а по-скоро ще са нужни множество апробации преди да се достигне до някакъв световен консенсус.

Литература:

• Маслова, Г. Г. (1969). „Международный конгресс по преподаванию математики“, Математика в школе, кн. 6;
• Маслова, Г. Г. (1972). „Международное совещание учителей математики“, Математика в школе, кн. 2;
• Соболев, С. Л., Маслова, Г. Г. (1972). „Международный конгресс по математическому образованию“, Математика в школе, кн. 6.

Въпроси към лекция 4:

• Кога и къде се провежда първия конгрес по преподаването на математика?
• Кои са основните въпроси, които се разглеждат на него?
• Какви тенденции се забелязват?
• Какво засягат основните пленарни доклади на конференцията в Краков?
• Кои са основните направления, по които се докладват резултати от изследванията на групите, създадени през 1972 г. в Ексетер?