* Хората и мухата
Публикувано на 09 октомври 2009 в раздел Математика.
Двама души стояли на разстояние 100 метра един от друг. В един момент тръгнали да вървят един срещу друг праволинейно с една и съща равномерна скорост - 3,6 км/ч. Една муха била кацнала на главата на единия човек и в момента на потеглянето отлетяла по посока на другия човек също праволинейно (странна муха) и равномерно със скорост 7,2 км/ч. Тя достигнала другия човек, стъпила на главата му и отново отлетяла наобратно със същата скорост към първия. Това се повтаряло дотогава, докогато хората стигнали един до друг и се разминали.
H1 Fly H2 o * ----> o ^ /|\ 7,2km/h /|\ | 1,76m | 3,6km/h 3,6km/h | | / \ --> <-- / \ v --------------------------------------------------
Въпрос №1: Какво разстояние сборно е прелетяла мухата, ако не се е задържала върху главите на хората, а само ги е докосвала с краката си и е отлитала мигновено обратно?
Въпрос №2: Какво разстояние сборно е прелетяла мухата, ако на всяко прелитане е кацала и оставала неподвижна върху главата на човека за период от 1 секунда?
Въпрос №3: Имайки предвид условието от въпрос №2, какво разстояние сборно е прелетяла мухата, ако не е летяла праволинейно, а по графиката на функцията y = sin(x)? Приемаме, че хората са еднакво високи с височина 1 метър и 76 сантиметра, а центърът на координатната система, с мерни единици "метри", е главата на съответния човек, в момента в който мухата отлита от нея (т.е. пиковата амплитуда на графиката на функцията е 1 метър). Освен това ако се получи така, че главата на срещуположния човек не "лежи" на синусоидата точно в момента на прелитане на мухата (т.е. мухата е под/над главата), то мухата ще направи рязък мигновен скок нагоре или рязко мигновено падане надолу, за да кацне на желаното място.
Въпрос 1:
мухата изминала 200/3+200/9+200/27+200/81+....=100м
Въпрос 2:
На първото прелитане мухата пак изминала 66,(6)м, като стояла 1 секунда на челото на човека те се приближили с 2м. и за началото на второто прелитане били на 31,(3)м, мухата изминала 2/3 от това разтояние =20,(8)м, на третото прелитане 6,(074) на четвъртото ~1,136 или общо ~94,765м
На втора задача перфектно.
На първа задача също, но... голямото "но" е "защо правихме толкова много сметки". Освен това в това решение е нужно да се доказва сходимост на редицата, което си е задача от висшата математика. Тази задача е много хубав пример за това как нещо може да се реши доста по-лесно чрез използване на математическа логика вместо чиста математика. Ето го и "елегантното" решение:
В началото двамата души са били на 100 метра и са тръгнали с еднаква скорост един към друг с равни скорости => са се срещнали в средата, т.е. на 50тия метър. За колко време са изминали всеки от тях по 50 метра? Ами щом са се движили с 1 метър в секунда (3.6 km/h), то са изминали това разстояние за 50 секунди.
Мухата пък е летяла без да спира през цялото това време (по условие задача 1). Ами при скорост 2 метра в секунда (7.2 km/h) тя колко е изминала за 50 секунди? Отговор - 100 метра :)
Е, този "трик" за зад.2. не върви - там трябва да се смята :)