C, PHP, VB, .NET

В обучението по математика се използват различни операции, но има четири, които се наричат основни или дори прости. Това са операцията "събиране" и нейните производни "изваждане", "умножение" и  "деление". По-нататък в обучението се срещат и други операции като степенуване, логаритмуване, диференциране, интегриране и т.н.

Когато говорим за основните операции - нормално човек се досеща за операциите за събиране на числа. Тези операции обаче далеч не се използват само за числа. Съвсем спокойно в геометрията говорим за събиране и изваждане на ъгли и събиране и изваждане на отсечки. Също така знаем, че съществува събиране и изваждане на вектори. Целта на методиката на обучение на математически операции е да създаде единен подход при изучаването на операциите и да се изтъкнат общите им свойства, които са независими от множеството, в което се прилагат. Именно думата множество е съществена - в училище се използват операции именно върху множества: числови, отсечки, ъгли, вектори, функции, редици...

Основното нещо, което трябва да изтъкнем за операциите изучавани в училище е, че те са валидни върху множества от т.нар. тип "група". Ако имаме дадена операция "Ω", то за да бъде едно множество M група спрямо Ω е необходимо да се изпълнят следните условия:

1. Асоциативност: (a Ω b) Ω c = a Ω (b Ω c) за всички елементи a, b и c от множеството M;
2. Комутативност: a Ω b = b Ω a за всеки два елемента a и b от множеството M;
3. Неутрален елемент: съществува елемент e от M такъв, че за всеки елемент a от M е изпълнено a Ω e = e Ω a = a;
4. Обратен елемент: за всеки елемент a от M съществува неговия обратен a' от M такъв, че е изпълнено a Ω a' = a' Ω a = e.

Нека дадем няколко примера с операцията "умножение" върху числови множества:

• Асоциативност: a*(b*c) = (a*b)*c;
• Комутативност: a*b = b*a;
• Неутрален елемент: a*1 = 1*a = a;
• Обратен елемент: a*(a^-1) = (a^-1)*a = 1, но само при a различно от 0.

Ето и примери с операцията "изваждане". Важно е да се обоснове, че всъщност тя самостоятелно не е операция, а е просто съкратен запис на операцията събиране, защото a - b = a + (-b), където "-b" е обратния елемент на "b". Затова въпреки, че тя първоначално изглежда, че не е комутативна, то всъщност е (използва комутативността на събирането):

• Асоциативност: a - (b - c) = (a - b) - c;
• Комутативност: a - b = a + (-b) = -b + a;
• Неутрален елемент: a - 0 = a + (-0) = 0 + a = a;
• Обратен елемент: a - a = a + (-a) = (-a) + a = 0.

Проблемите с изучаването на операциите страда главно от проблема изказан в статията за двучленни релации, а именно - задачите се разглеждат "еднопосочно". Учениците например много добре знаят, че a - a = 0, но много рядко се досещат да правят обратното - да заместят 0 с a - a. Този проблем води до липса на развитие на евристични способности у учениците. Именно затова се е наложило и названието "изкувствени преобразувания" когато добавяме и изваждаме едно и също число в израз. Думата "изкувствени" се е наложила именно защото учениците не са подготвени с по-прости задачи, в които са нужни такива преобразувания. Така много често задачите, в които се прави заместване на 0 с a - a остават неразбрани. Дори има и една често употребявана закачка: учениците попитали учителя как се е досетил да направи такова преобразувание и той отговорил "умен съм бил - сетил съм се".

Друг проблем е, че рядко се обръща внимание на общия подход при решаването на различни задачи. Например при събиране на дроби когато децата трябва да решат сбора 1/2 + 2/3 те първоначално намират т.нар. "най-малко общо кратно" и преобразуват израза в (3 + 4)/6. Трябва обаче да им се покаже, че всъщност това уравнение е еквивалентно на 3/6 + 4/6. Така 3/6 от своя страна се явява представител от класа на еквивалентност на 1/2, а 4/6 е представител от класа на еквивалентност на 2/3. С други думи - важно е да покажем на децата, че заменяме всеки един от елементите в задачата с друг, еквивалентен на него, а не да сервираме алгоритъма за решение догматично.

По-късно можем лесно да прилагаме аналогично подхода и при други задачи. Например при сбор на два вектора ние първо намираме други два от техните класове на еквивалентност, които са с обща начална точка. Същото се прави при сбор на отсечки, сбор на ъгли и т.н.

Както вметнахме по-горе - операцията изваждане всъщност е съкратен запис на операцията събиране. Това доста често се пропуска да се изучи и затвърди. Същото можем да кажем и за операцията деление спрямо операцията умножение - обикновено делението се разглежда като съвсем отделна независима операция, а всъщност лесно в по-горните класове може да се наблегне, че a/b = a*b^-1. Още повече - самото умножение като операция също е производна на събирането, защото например 3*a = a + a + a. Тоест ако ние изтъкваме тези факти ще имаме една по-добра основа с много по-малко догматично въведени операции.

Последният споменат проблем се мултиплицира в по-горните класове. Операцията степенуване е производна на операцията умножение, защото например a³ = a*a*a. Както казахме по-горе самото умножение е производно на операцията събиране. Тази наследственост при въвеждането на операциите е добре да се показва и затвърждава, за да могат учениците да добиват по-здрава основа на знанията си.

Така можем да заключим, че най-големият проблем при изучаването на операциите си остава липсата на разглеждане на техните дефиниции. Вместо това учителите се увличат догматично да въвеждат алгоритмите за извеждане на решенията на задачите. Така вместо да надграждат своите първични знания децата са принудени да заучават наизуст дадени алгоритми. Това определено при някои от тях води до отвращение към математиката, защото много неща остават неясни и съответно биват оприличавани като "трудни". Безспорно е, че научаването наизуст на едно стихотворение по литература е доста по-приятно от зазубрянето на поредици от математически формули без логическа обосновка като основа...

Използвана литература:

1. Методика на обучението по математика (специална част), Благоевград 2002;
2. Прости математически действия в Wikipedia