* Сделка или не?
Публикувано на 26 април 2011 в раздел Математика.
Иванчо играел в играта "Сделка или не". Вярвайки, че "нотариус Каменов" реално гарантира, че сумите в кутиите са произволно подредени, Иванчо избрал от самото начало кутия №1. Така де вероятността да избере кутията с максимална сума не зависела въобще от номера на кутията. След това последователно на всеки рунд "отварял" всички следващи кутии с номера от 2 до 21. Може да е бил калпазанин в училище, но поне до толкова математика всеки знае. По една или друга причила не приел нито една от предложените от "банката" сделки.
За огромно щастие на Иванчо във финалния рунд се оказало, че неотворените суми са 50 000 и 100 000 лева. Банката вече нямала какво да направи и предложила сделка "смяна на кутиите". Тогава Иванчо изказал следните размишления в ефир:
- Нека в моята кутия парите са неизвестно количество - "x";
- Вероятността в другата кутия парите да са повече е 1/2;
- Вероятността в другата кутия парите да са по-малко също е 1/2;
- В другата кутия може да има или "2x" или "x/2"
Следователно Иванчо изчислил, че очакваната стойност за парите от другата кутия е:
y = (1/2)*2x + (1/2)*(x/2) = (5/4)*x
Естествено след тези размишления Иванчо приел сделката на банката - очакваната стойност за парите в другата кутия е по-висока! По случайност или не Иванчо спечелил 100 000 лева.
Принуден от жена си, проф. Сметков (известен математик) също гледал предаването по телевизията. Чул разсъжденията на Иванчо и разпалено възкликнал:
- Глупости! А какво ще стане ако му дадат да може да сменя кутиите до безкрайност? Че тогава очакваната стойност също ще расте до безкрайност!
Сбъркал ли се е Иванчо в разсъжденията си? Прав ли е проф. Сметков?
Всъщност не, формулата е правилна. "х" е неизвестната сума в кутията, която може да приема една от двете крайни стойности. Очакваната стойност е изчислена правилно. Всъщност Иванчо е прав, а проф. Сметков не е. За повече информация тук:
http://en.wikipedia.org/wiki/Two_envelopes_problem
Друг е въпроса, че "очакваната стойност" не придава нищо към вероятността в избраната кутия да има именно 100 000 лева.
Грешна е формулата y = (1/2)*2x + (1/2)*(x/2)
,тя няма релация с понятието "другата" кутия.
Иванчо е сбъркал.
Малко пояснение
2х се отнася за х=50000
х/2 се отнася за х=100000
Не е коректно да се изчислява очаквана стойност, защото стойностите са само 2 не може да очаква 62500лв.
Не, mertol - бъркаш. Математическото очакване е т.нар. "средна стойност" на случайната величина и в никакъв случай НЕ е задължително да бъде нейн възможен изход.
Идеята в задачата е, че по-голямото математическо очакване в случая не дава предимство по никакъв начин на един от възможните изходи. Реалната вероятност за печалба си остава същата.
Ще дам един класически пример - математическото очакване за паднало се число от хвърлен зар е 3,5. Естествено такава реална стойност няма. Освен това НЕ повишава вероятността като хвърлите да се падне 3 или 4 да кажем, напротив - вероятността си остава 1/6 и за двете.
Очакваната стойност на парите в другата кутия е
y=(5/4)x
А каква е очакваната стойност на парите в неговата кутия? Не е ли 750 лева?
По този начин в другите кутии реалната стойност на парите е (2/3)х и (4/3)х
А очакваната стойност ще бъде
(1/2).(2/3)х + (1/2).(4/3)х , или точно х