* Километрични камъни
Публикувано на 19 септември 2011 в раздел Математика.
Една кола се движи с константна скорост. По едно време задминава километричен камък, в който са написани две цифри. След един час задминава километричен маркер, в който има същите две цифри, но с разменени места. След още един час задминава километричен маркер в който има двете цифри с нула между тях
С каква скорост се е движила колата?
Задачата е от Иван.
Задачата е приятна. Предполагам има много елегантни методи за решение от сферата на теория на числата, но и иначе лесно се решава със средствата на училищната алгебра. Ето и решението:
Ако на първия камък пише yx, то на втория ще пише xy и на третия y0x или x0y, където за дефиниционно множество имаме 0<=x<=9 и 0<=y<=9 са цели числа. Съвсем естествено се съобразява, че редицата от числа е нарастваща (третото число е трицифрено и ще е по-голямо от предишните две), т.е. yx < xy < y0x|x0y, т.е. можем лесно да заключим, че x>y (предлагам нулевото решение да бъде изключено, а то е единственото, при което може двете цифри да са равни). От последното пък можем логически да заявим, че третото число е именно y0x, а не x0y, но за да има по-строго доказателство ще разделим задачата на два случая.
Случай 1: Третото число е y0x:
От тук нататък използваме формулата S=vt и образуваме следната система:
| 10x + y - 10y - x = 1.v
| 100y + x - 10x - y = 1.v
=>
| 9x - 9y = v
| 99y - 9x = v
=> x - y = 11y - x
=> 12y = 2x
=> 6y = x
=> Решения в нашето дефиниционно множество са:
(x,y) = (0,0) и (6,1)
Нулевото решение вече казахме, че отпада
=> решение е x=6, y=1
=> километричните камъни показват числата 16, 61 и 106, а скоростта на автомобила е 45км/ч.
Случай 2: Третото число е x0y:
Системата е:
| 10x + y - 10y - x = v
| 100x + y - 10x - y = v
=>
| 9x - 9y = v
| 90x = v
=> x - y = 10x
=> 9x = -y
Но дефиниционното множество ни казва, че x>=0 и y>=0, следователно в този случай имаме само нулевото решение, а то не ни интересува при тази задача.
П.С. Обикновено километричните камъни показват разстоянието ДО дадена точка, а не ОТ дадена точка, но да кажем, че "всички пътища водят в Рим" и в случая колата отива от Рим към Палермо и показва колко си се отдалечил от Рим. На третия километричен камък е бил на 1/4 от пътя :)
Решенията ви са вярни, но изпускат момента да отговорят на въпроса "съществуват ли други решения?".
Щом първия и втория камък имат двуцифрени числа, значи разстоянието между тях е по-малко от 100км следователно 1вата цифра на третия камък е 1. Щом последните цифри на 1вия и 3тия камък са еднакви, значи разстоянието между тях завършва на 0, следователно разстоянието между съседни камъни завършва на 0 или 5, но числото на 2рия камък, завършва на различна цифра, значи не е 0, а е 5. Щом второто число завършва на 1, значи другата цифра е 6 (5+6=11 и 1 на ум). Така се получава, че на камъните пише 16,61,106, а скоростта е 45км/ч.
Моята логика беше подобна на мертоловата :)
Едната от цифрите трябваше да е "1". Другата трябваше да е около средата на множеството 0-9, понеже второто число от xy, yx трябваше да се пада горе-долу по средата на обхвата "десет и малко-сто и малко" :)