C, PHP, VB, .NET

Задача 1. Дадено е квадратното уравнение x² + bx + c = 0. Каква е вероятността корените му да са реални числа, ако b и c са в интервала [0,1]?

Решение: Корените ще бъдат реални числа тогава, когато дискриминантата на уравнението е положително число. Тя е D=b²-4c.

=> Търсим кога c < b²/4

Ако съставим ортонормирана координатна система в която по остта x нанасяме възможните числа b, а по остта y числата c, то те бидейки в интервала [0,1] определят област на един квадрат. Ако нанесем графиката на функцията y=x²/4, то тя ще отсече следната част от квадрата:

Интересуваме се от отношението на площта под функцията и цялата площ на квадрата. Тоест имаме:

[math]P=\frac{\int_{0}^{1}\frac{x^2}{4}dx}{1.1}=\frac{1}{12}[/math]

Задача 2. Какво ще се получи ако b и c са в интервала [0,10]?

Решение: Задачата ще бъде същата, но вече ще имаме по-сложна област:

Трябва ни пресечната точка на функцията y=x²/4 с функцията y=10.

Заместваме и получаваме [mathi]x^2=40[/mathi] => [mathi]x=\sqrt{40}[/mathi].

=> пресечната точка е с координати [mathi](\sqrt{40}, 10)[/mathi].

Така червената област ще бъде с лице:

[math]S(red)=\int_{0}^{\sqrt{40}}\frac{x^2}{4}dx + (10-\sqrt{40}).10=\frac{\sqrt{40}^3}{12}+10(10-\sqrt{40})[/math]

Това е приблизително равно на 57,84

Лицето на квадрата е 100 =>

[math]P=0,5784[/math]

Задача 3. Какво ще се получи ако b и c са в интервала [0,n]

Решение: Първо трябва да преценим кога функцията ще пресече горната страна на квадрата и кога не. Или търсим за коя стойност на "n" функцията [mathi]y=x^2/4[/mathi] ще мине точно през точката (n,n). Това очевидно е при n=4.

Значи задачата ще бъде разделена на два случая:

1 случай) n<4

=> търсената вероятност се намира както в първа задача и тя ще е

[math]P=\frac{n}{12}[/math]

2 случай) n>4

Отново трябва да търсим пресечната точка, но този път на y=x²/4 с функцията y=n.

Заместваме и получаваме точката [mathi](x,y)=(c,b)=(2\sqrt{n},n)[/mathi].

Търсим лицето на областта:

[math]S(red)=\int_{0}^{2\sqrt{n}}\frac{x^2}{4}dx + (n-2\sqrt{n}).n=n^2-\frac{4.n^{3/2}}{3}[/math]

Знаейки и лицето на квадрата ще намерим търсената вероятност:

[math]P=\frac{n^2-\frac{4.n^{3/2}}{3}}{n^2}=\frac{3\sqrt{n}-4}{3\sqrt{n}}[/math]

Задача 4. Какво ще се получи ако позволим и отрицателни коефициенти, т.е. ако b и c са в интервала [-n,n]?

Решение: Нека погледнем отново дискриминантата: D=b²-4c

Коефициентът "b" е повдигнат на квадрат. Следователно графиката на функцията е симетрична относно остта Oy => вероятността няма да се промени.

Ако коефициентът "c" стане отрицателен, дискриминантата става винаги положителна => корените винаги ще са реални. Или казано по друг начин - ако слизаме надолу от абцисната ос, ние ще увеличаваме червената площ на благоприятните (да бъдат корените реални числа) изходи.

Така ако например n=10, графиката ще бъде:

Площта на този червен допълнителен квадрат (в квадрант 4) е n². Той се добавя и към общата площ, и към площта на благоприятните изходи, т.е. след опростяване ще имаме следното общо решение:

[math]P_{n>4}=1-\frac{2}{3\sqrt{n}}[/math]

[math]P_{n\leq 4}=\frac{n+12}{24}[/math]