C, PHP, VB, .NET

В това упражнение показвам два от методите за намиране на обратна матрица. Отначало ще наблегна на метода на адюнгираните количества, а накрая ще дам метода на Гаус-Жордан.

Деф. Ще казваме, че матрицата A е обратима, ако съществува матрица A^-1, за която: A.A^-1 = A^-1.A = E

Следствие: За да бъде една матрица обратима, тя трябва да е квадратна.

Деф. Нека матрицата A={a_ij}, i=1,...,n, j=1,...,n. Нека при премахване на ред "p" и стълб "q" от тази матрица се получава матрица M_pq (тя ще бъде от ред (n-1)x(n-1)). Адюнгирано количество наричаме детерминантата:

[math]A_{pq} = (-1)^{p+q}det(M_{pq})[/math]

Метод за намиране на обратна матрица чрез адюнгирани количества. Обратната матрица A^-1 на квадратната матрица A може да се намери по формулата:

[math]A^{-1}=\frac{1}{detA}\begin{pmatrix} A_{11} & \cdots & A_{n1}\\ \vdots & \ddots & \vdots\\ A_{1n} & \cdots & A_{nn} \end{pmatrix}[/math]

Където A_ij са адюнгирани количества.

Следствие: Една матрица A е обратима тогава и само тогава, когато [mathi]detA\neq 0[/mathi]

Задача 1. Намерете обратната матрица на матрицата

[math]A=\begin{pmatrix} 1 & 2\\ 3 & 4 \end{pmatrix}[/math]

Решение: Винаги започваме с намирането на детерминантата на матрицата. Ако тя е равна на нула, задачата няма да има решение. Ако е различна от нула, ще търсим всички адюнгирани количества.

[math]det(A)=\begin{vmatrix} 1 & 2\\ 3 & 4 \end{vmatrix}=1.4 - 2.3 = -2[/math]

[math]A_{11}=(-1)^{1+1}.\begin{vmatrix} 4 \end{vmatrix}=4[/math]

[math]A_{21}=(-1)^{2+1}\begin{vmatrix} 2 \end{vmatrix}=-2[/math]

[math]A_{12}=(-1)^{1+2}\begin{vmatrix} 3 \end{vmatrix}=-3[/math]

[math]A_{22}=(-1)^{2+2}\begin{vmatrix} 1 \end{vmatrix}=1[/math]

От тук вече можем да намерим обратната матрица A^-1 по формулата от твърдение 1:

[math]A^{-1}=\frac{1}{detA}\begin{pmatrix} A_{11} & A_{21}\\ A_{12} & A_{22} \end{pmatrix}=-\frac{1}{2}\begin{pmatrix} 4 & -2\\ -3 & 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -2 & 1\\ \frac{3}{2} & -\frac{1}{2} \end{pmatrix}[/math]

Задача 2. Намерете обратната матрица на матрицата

[math]A=\begin{pmatrix} -2 & -5 & 3\\ 0 & 1 & -1\\ 4 & 2 & 3 \end{pmatrix}[/math]

Решение: По правилото на Сарус намираме detA=-2

[math]A_{11}=\begin{vmatrix} 1 & -1\\ 2 & 3 \end{vmatrix}, A_{21}=-\begin{vmatrix} -5 & 3\\ 2 & 3 \end{vmatrix}, A_{31}=\begin{vmatrix} -5 & 3\\ 1 & -1 \end{vmatrix}[/math]

[math]A_{12}=-\begin{vmatrix} 0 & -1\\ 4 & 3 \end{vmatrix}, A_{22}=\begin{vmatrix} -2 & 3\\ 4 & 3 \end{vmatrix}, A_{32}=-\begin{vmatrix} -2 & 3\\ 0 & -1 \end{vmatrix}[/math]

[math]A_{13}=\begin{vmatrix} 0 & 1\\ 4 & 2 \end{vmatrix}, A_{23}=-\begin{vmatrix} -2 & -5\\ 4 & 2 \end{vmatrix}, A_{33}=\begin{vmatrix} -2 & -5\\ 0 & 1 \end{vmatrix}[/math]

След решението на тези детерминанти можем да намерим търсената обратна матрица:

[math]A^{-1}=\frac{1}{detA}\begin{vmatrix} A_{11} & A_{21} & A_{31}\\ A_{12} & A_{22} & A_{32}\\ A_{13} & A_{23} & A_{33} \end{vmatrix}=-\frac{1}{2}\begin{pmatrix} 5 & 21 & 2\\ -4 & -18 & -2\\ -4 & -16 & -2 \end{pmatrix}[/math]

Свойства на обратните матрици:

1. (A^-1)^-1 = A

2. (AB)^-1 = B^-1A^-1

3. (A^t)^-1 = (A^-1)^t

4. Ако A е симетрична, A^-1 също е симетрична

Виждате, че за намиране на обратна матрица с размерност 2x2 трябва да намерим 4 адюнгирани количества, за 3x3 трябва да намерим 9 адюнгирани количества, за 4х4 трябва да намерим 16 адюнгирани количества и т.н. Напомняме, че всяко адюнгирано количество е детерминанта с размерност с 1 по-малка от размерността на матрицата. Така, че за намирането на обратни матрици от висок ред метода е непрактичен ако не се използва помощта на компютър. Затова при намиране на обратни матрици, особено при такива с по-висока от 3x3 размерност, ще използваме т.нар. "Метод на Гаус-Жордан".

Метод на Гаус-Жордан за намиране на обратна матрица: Взимате матрицата А и до нея нанасяте единичната матрица E. Започвате да правите елементарни преобразувания (умножение на ред с число и прибавяне към друг ред, умножение на ред с число, размяна на два реда) върху двете матрици така, че от матрицата A да получите единична матрица E. Това, което се е получило на мястото на първоначалната единична матрица, ще бъде търсената обратна матрица. Или казано по друг начин:

[math]\left(\begin{matrix} A \end{matrix}\right|\left.E\right) \sim \left(\begin{matrix} E \end{matrix}\right|\left.A^{-1}\right)[/math]

Задача 3. Намерете обратната матрица на матрицата

[math]A=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 & 1\\ -1 & 0 & 1 & 1\\ -1 & -1 & 0 & 1\\ -1 & -1 & -1 & 0 \end{pmatrix}[/math]

Решение: Ще приложим метода на Гаус-Жордан. Там, където сме оградили елемент в скоби, означава че го избираме и правим нули под и над него чрез умножаване на реда с определени числа и събирането на резултата с другите редове.

[math]\left(\begin{matrix}0 & 1 & 1 & (1)\\ -1 & 0 & 1 & 1\\ -1 & -1 & 0 & 1\\ -1 & -1 & -1 & 0 \end{matrix}\right|\left.\begin{matrix}1 &0 & 0& 0\\ 0 &1 &0 & 0\\0 & 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{matrix}\right)[/math]

[math]\left( \begin{matrix}0 & 1 & 1 & 1\\ (-1) & -1 & 0 & 0\\ -1 & -2 & -1 & 0\\ -1 & -1 & -1 & 0\end{matrix}\right|\left. \begin{matrix}1 & 0& 0& 0\\ -1 & 1& 0& 0\\ -1& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{matrix} \right)[/math]

[math]\left( \begin{matrix} 0& 1 & 1 & 1\\ -1& -1 & 0 & 0\\ 0& (-1) & -1 & 0\\ 0&0 &-1 &0 \end{matrix}\right|\left. \begin{matrix} 1& 0& 0& 0\\ -1& 1& 0& 0\\ 0& -1& 1& 0\\ 1& -1& 0& 1\end{matrix} \right)[/math]

[math]\left( \begin{matrix}0 & 0 & 0 &1 \\ -1 & 0 & 1 & 0\\ 0 & -1 & -1 &0 \\ 0 & 0 & (-1) &0 \end{matrix}\right|\left. \begin{matrix}1 &-1 & 1& 0\\ -1 &2 & -1& 0\\ 0 & -1& 1& 0\\ 1 & -1& 0& 1\end{matrix} \right)[/math]

[math]\left( \begin{matrix} 0& 0 & 0 & 1\\ -1& 0 &0 &0 \\ 0& -1 &0 &0 \\ 0& 0 & -1 &0 \end{matrix}\right|\left. \begin{matrix} 1& -1& 1& 0\\ 0& 1& -1& 1\\ -1& 0& 1& -1\\ 1& -1& 0& 1\end{matrix} \right)[/math]

Умножаваме 2ри, 3ти и 4ти редове с числото (-1):

[math]\left( \begin{matrix} 0& 0 & 0 & 1\\ 1& 0 &0 &0 \\ 0& 1 &0 &0 \\ 0& 0 & 1 &0 \end{matrix}\right|\left. \begin{matrix} 1& -1& 1& 0\\ 0& -1& 1& -1\\ 1& 0& -1& 1\\ -1& 1& 0& -1\end{matrix} \right)[/math]

Накрая преместваме първи ред накрая:

[math]\left( \begin{matrix} 1& 0 &0 &0 \\ 0& 1 &0 &0 \\ 0& 0 & 1 &0\\0& 0 & 0 & 1 \end{matrix}\right|\left. \begin{matrix} 0& -1& 1& -1\\ 1& 0& -1& 1\\ -1& 1& 0& -1\\1& -1& 1& 0\end{matrix} \right)[/math]

Търсената обратна матрица е:

[math]A^{-1}=\begin{pmatrix} 0& -1& 1& -1\\ 1& 0& -1& 1\\ -1& 1& 0& -1\\1& -1& 1& 0\end{pmatrix}[/math]

Направете проверка - ако умножите матрицата A с A^-1 трябва да получите единичната матрица.

Задача за упражнение: Дадена е матрицата:

[math]A=\begin{pmatrix} 2 & 7 & 3\\ 3 & 9 & 4\\ 1 & 5 & 3 \end{pmatrix}[/math]

Намерете обратната матрица A^-1 по двата метода. Споделете кой метод ви се струва по-лесен.