C, PHP, VB, .NET

В това упражнение показвам два от методите за намиране на обратна матрица. Отначало ще наблегна на метода на адюнгираните количества, а накрая ще дам метода на Гаус-Жордан.

Деф. Ще казваме, че матрицата A е обратима, ако съществува матрица A^-1, за която: A.A^-1 = A^-1.A = E

Следствие: За да бъде една матрица обратима, тя трябва да е квадратна.

Деф. Нека матрицата A={a_ij}, i=1,...,n, j=1,...,n. Нека при премахване на ред "p" и стълб "q" от тази матрица се получава матрица M_pq (тя ще бъде от ред (n-1)x(n-1)). Адюнгирано количество наричаме детерминантата:

$$A_{pq}=(-1{)}^{p+q}det(M_{pq})$$

Метод за намиране на обратна матрица чрез адюнгирани количества. Обратната матрица A^-1 на квадратната матрица A може да се намери по формулата:

$$A^{-1}=\frac{1}{detA}\left(\begin{array}{ccc}{A}_{11}& \cdots & A_{n1}\\ ⋮& \ddots & ⋮\\ A_{1n}& \cdots & A_{nn}\end{array}\right)$$

Където A_ij са адюнгирани количества.

Следствие: Една матрица A е обратима тогава и само тогава, когато $detA\ne 0$

Задача 1. Намерете обратната матрица на матрицата

$$A=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 4\end{array}\right)$$

Решение: Винаги започваме с намирането на детерминантата на матрицата. Ако тя е равна на нула, задачата няма да има решение. Ако е различна от нула, ще търсим всички адюнгирани количества.

$$det(A)=\left|\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 4\end{array}\right|=1.4-2.3=-2$$

$$A_{11}=(-1{)}^{1+1}.\left|\begin{array}{c}4\end{array}\right|=4$$

$$A_{21}=(-1{)}^{2+1}\left|\begin{array}{c}2\end{array}\right|=-2$$

$$A_{12}=(-1{)}^{1+2}\left|\begin{array}{c}3\end{array}\right|=-3$$

$$A_{22}=(-1{)}^{2+2}\left|\begin{array}{c}1\end{array}\right|=1$$

От тук вече можем да намерим обратната матрица A^-1 по формулата от твърдение 1:

$$A^{-1}=\frac{1}{detA}\left(\begin{array}{cc}{A}_{11}& A_{21}\\ A_{12}& A_{22}\end{array}\right)=-\frac{1}{2}\left(\begin{array}{cc}4& -2\\ -3& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}-2& 1\\ \frac{3}{2}& -\frac{1}{2}\end{array}\right)$$

Задача 2. Намерете обратната матрица на матрицата

$$A=\left(\begin{array}{ccc}-2& -5& 3\\ 0& 1& -1\\ 4& 2& 3\end{array}\right)$$

Решение: По правилото на Сарус намираме detA=-2

$$A_{11}=\left|\begin{array}{cc}1& -1\\ 2& 3\end{array}\right|,A_{21}=-\left|\begin{array}{cc}-5& 3\\ 2& 3\end{array}\right|,A_{31}=\left|\begin{array}{cc}-5& 3\\ 1& -1\end{array}\right|$$

$$A_{12}=-\left|\begin{array}{cc}0& -1\\ 4& 3\end{array}\right|,A_{22}=\left|\begin{array}{cc}-2& 3\\ 4& 3\end{array}\right|,A_{32}=-\left|\begin{array}{cc}-2& 3\\ 0& -1\end{array}\right|$$

$$A_{13}=\left|\begin{array}{cc}0& 1\\ 4& 2\end{array}\right|,A_{23}=-\left|\begin{array}{cc}-2& -5\\ 4& 2\end{array}\right|,A_{33}=\left|\begin{array}{cc}-2& -5\\ 0& 1\end{array}\right|$$

След решението на тези детерминанти можем да намерим търсената обратна матрица:

$$A^{-1}=\frac{1}{detA}\left|\begin{array}{ccc}{A}_{11}& A_{21}& A_{31}\\ A_{12}& A_{22}& A_{32}\\ A_{13}& A_{23}& A_{33}\end{array}\right|=-\frac{1}{2}\left(\begin{array}{ccc}5& 21& 2\\ -4& -18& -2\\ -4& -16& -2\end{array}\right)$$

Свойства на обратните матрици:

1. (A^-1)^-1 = A

2. (AB)^-1 = B^-1A^-1

3. (A^t)^-1 = (A^-1)^t

4. Ако A е симетрична, A^-1 също е симетрична

Виждате, че за намиране на обратна матрица с размерност 2x2 трябва да намерим 4 адюнгирани количества, за 3x3 трябва да намерим 9 адюнгирани количества, за 4х4 трябва да намерим 16 адюнгирани количества и т.н. Напомняме, че всяко адюнгирано количество е детерминанта с размерност с 1 по-малка от размерността на матрицата. Така, че за намирането на обратни матрици от висок ред метода е непрактичен ако не се използва помощта на компютър. Затова при намиране на обратни матрици, особено при такива с по-висока от 3x3 размерност, ще използваме т.нар. "Метод на Гаус-Жордан".

Метод на Гаус-Жордан за намиране на обратна матрица: Взимате матрицата А и до нея нанасяте единичната матрица E. Започвате да правите елементарни преобразувания (умножение на ред с число и прибавяне към друг ред, умножение на ред с число, размяна на два реда) върху двете матрици така, че от матрицата A да получите единична матрица E. Това, което се е получило на мястото на първоначалната единична матрица, ще бъде търсената обратна матрица. Или казано по друг начин:

$$\left(\begin{array}{c}A\end{array}\right|E)\sim \left(\begin{array}{c}E\end{array}\right|A^{-1})$$

Задача 3. Намерете обратната матрица на матрицата

$$A=\left(\begin{array}{cccc}0& 1& 1& 1\\ -1& 0& 1& 1\\ -1& -1& 0& 1\\ -1& -1& -1& 0\end{array}\right)$$

Решение: Ще приложим метода на Гаус-Жордан. Там, където сме оградили елемент в скоби, означава че го избираме и правим нули под и над него чрез умножаване на реда с определени числа и събирането на резултата с другите редове.

$$\left(\begin{array}{cccc}0& 1& 1& (1)\\ -1& 0& 1& 1\\ -1& -1& 0& 1\\ -1& -1& -1& 0\end{array}\right|\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array})$$

$$\left(\begin{array}{cccc}0& 1& 1& 1\\ (-1)& -1& 0& 0\\ -1& -2& -1& 0\\ -1& -1& -1& 0\end{array}\right|\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ -1& 1& 0& 0\\ -1& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array})$$

$$\left(\begin{array}{cccc}0& 1& 1& 1\\ -1& -1& 0& 0\\ 0& (-1)& -1& 0\\ 0& 0& -1& 0\end{array}\right|\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ -1& 1& 0& 0\\ 0& -1& 1& 0\\ 1& -1& 0& 1\end{array})$$

$$\left(\begin{array}{cccc}0& 0& 0& 1\\ -1& 0& 1& 0\\ 0& -1& -1& 0\\ 0& 0& (-1)& 0\end{array}\right|\begin{array}{cccc}1& -1& 1& 0\\ -1& 2& -1& 0\\ 0& -1& 1& 0\\ 1& -1& 0& 1\end{array})$$

$$\left(\begin{array}{cccc}0& 0& 0& 1\\ -1& 0& 0& 0\\ 0& -1& 0& 0\\ 0& 0& -1& 0\end{array}\right|\begin{array}{cccc}1& -1& 1& 0\\ 0& 1& -1& 1\\ -1& 0& 1& -1\\ 1& -1& 0& 1\end{array})$$

Умножаваме 2ри, 3ти и 4ти редове с числото (-1):

$$\left(\begin{array}{cccc}0& 0& 0& 1\\ 1& 0& 0& 0\\ 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0\end{array}\right|\begin{array}{cccc}1& -1& 1& 0\\ 0& -1& 1& -1\\ 1& 0& -1& 1\\ -1& 1& 0& -1\end{array})$$

Накрая преместваме първи ред накрая:

$$\left(\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right|\begin{array}{cccc}0& -1& 1& -1\\ 1& 0& -1& 1\\ -1& 1& 0& -1\\ 1& -1& 1& 0\end{array})$$

Търсената обратна матрица е:

$$A^{-1}=\left(\begin{array}{cccc}0& -1& 1& -1\\ 1& 0& -1& 1\\ -1& 1& 0& -1\\ 1& -1& 1& 0\end{array}\right)$$

Направете проверка - ако умножите матрицата A с A^-1 трябва да получите единичната матрица.

Задача за упражнение: Дадена е матрицата:

$$A=\left(\begin{array}{ccc}2& 7& 3\\ 3& 9& 4\\ 1& 5& 3\end{array}\right)$$

Намерете обратната матрица A^-1 по двата метода. Споделете кой метод ви се струва по-лесен.