C, PHP, VB, .NET

Триъгълникът на Паскал е едно забележително творение. На пръв поглед то е изключително просто. Ето как изглежда:

			    1

			1	1

		    1       2       1

		1	3	3	1

	    1	    4	    6	    4	    1  

	1	5	10	10	5	1

    1       6       15      20      15      6       1

1	7	21	35	35	21	7	1
...  ...  ...  ...  ...  ...  ...  ...  ...  ...  ...  ...

Числата на всеки ред са образувани като сбор от тези от предишния ред:

			    1
			  /   \
			1	1
		      /   \   /   \
		    1       2       1
                  /   \   /   \   /   \
		1	3	3	1
                 ...  ...  ...  ...  ...

"Е, какво пък е толкова специалното" ще се попитат повечето хора, които не са го срещали. Ами нека първо разгледаме сбора на числата по хоризонтала на всеки ред:

ред 0: 1 = 2⁰
ред 1: 2 = 2¹
ред 2: 4 = 2²
ред 3: 8 = 2³
ред 4: 16 = 2⁴
ред 5: 32 = 2⁵
ред 6: 64 = 2⁶
ред 7: 128 = 2⁷
...

Интересно - оказаха се степени на двойката! Нека сега разгледаме диагоналите:

			    1

			1	1

		    1       2       1

		1	3	3	1

	    1	    4	    6	    4	    1  

	1	5	10	10	5	1

    1       6       15      20      15      6       1

1	7	21	35	35	21	7	1
...  ...  ...  ...  ...  ...  ...  ...  ...  ...  ...  ...

Пъвият диагонал е с удебелени числа. Това е лявата страна на триъгълинка на Паскал. При този диагонал е ясно - редицата от числа е само от единици.

Вторият диагонал (в курсив) са числата 1, 2, 3, 4, 5, 6... Всяко следващо се увеличава с единица.

Третият диагонал (подчертан) е редицата 1, 3, 6, 10, 15, 21, ... Това се нарича "триъгълна редица". Ето защо - от тази редица могат да се формират равностранни триъгълници чрез точки:

 1	3	6	10	...

 . 	.	.	.
       . .     . .     . .	...
	      . . .   . . .
		     . . . .

Четвъртият диагонал, маркиран в червено, са числата 1, 4, 10, 20, 35, ... Нарича се "тетраедърна редица". От предишния пример с триъгълната редица - представете си, че преминете в тримерното пространство. Там вече ще се строят правилни триъгълни пирамиди. Ами съставете си такива от точки - ще видите, че ще ви трябват именно посочените количества точки в зависимост от големината, която сте избрали.

Ако си представим първи диагонал като "нула мерно пространство" (т.е. точка), втори диагонал като "едномерно пространство" (права), трети диагонал като "двумерно пространство" (равнина) и четвърти диагонал като "тримерно пространство" (познато на "геймърите" като 3D) - навързахте ли нещата? Можем ли да твърдим, че петият диагонал е симетрична фигура с триъгълни стени в четиримерното пространство?

Нека обаче не спираме дотук. Нека оцветим нечетните числа в черно, а четните в синьо:

			    1

			1	1

		    1       2       1

		1	3	3	1

	    1	    4	    6	    4	    1  

	1	5	10	10	5	1

    1       6       15      20      15      6       1

1	7	21	35	35	21	7	1
...  ...  ...  ...  ...  ...  ...  ...  ...  ...  ...  ...

Нещо странно? Това по средата не ви ли прилича на триъгълник обърнат надолу? Ами то е! Това се наричат "триъгълници на Сиерпински":

Взимаме един голям черен равностранен триъгълник. Взимаме трите му средни отсечки - те образуват равностранен триъгълник "обърнат надолу". Нека го оцветим в бяло - ясно е, че от черния триъгълник ще останат три по-малки оцветени в черно триъгълници. За тях прилагаме същия принцип. Тук можем да продължим до безкрайност. Триъгълникът на Паскал обаче е съставен от дискретни величини - затова имаме крайно разделение.

Освен, че е толкова специален, триъгълникът на Паскал ни помага при решаването на някои задачи. Децата изключително много му се радват при задачи с повдигане на степен. Например знаете ли колко е (x+1)⁵? Класическото пресмятане е сравнително трудно. С триъгълника на Паскал не е! Намерете петия ред на триъгълника на Паскал (първия се счита за нулев). Той е:

1, 5, 10, 10, 5, 1

Ето и решението:

(x+1)⁵ = 1*x⁵ + 5*x⁴ + 10*x³ + 10*x² + 5*x¹ + 1*x⁰

Можем обаче лесно да го приложим и по-обобщено - всеки ред от триъгълника на паскал са чисто и просто биномните коефициенти:

(x + y)⁵ = 1*x⁵.y⁰ + 5*x⁴.y¹ + 10*x³.y² + 10*x².y³ + 5*x¹.y⁴ + 1*x⁰.y⁵

Още повече - с триъгълника на Паскал можем да пресмятаме и комбинации. Например ако имаме 6 различни билярдни топки, то по колко различни начина можем да вземем 2 от тях, като подредбата им няма значение? Отговорът е - спуснете се по левия диагонал до 6ти ред (напомням, че се започва от нулев) и се преместете две позиции в дясно:

			    1
                          /
			1	1
                      /
		    1       2       1
                  /
		1	3	3	1
              /
	    1	    4	    6	    4	    1
          /
	1	5	10	10	5	1
      /
    1  ---  6  ---  15      20      15      6       1   <= 6ти ред

1	7	21	35	35	21	7	1
...  ...  ...  ...  ...  ...  ...  ...  ...  ...  ...  ...

Ще ви го докажа нагледно без формули. Нека топките са a, b, c, d, e и f. Комбинациите от две топки без значение от подредбата са: (a,b); (a,c); (a,d); (a,e); (a,f); (b,c); (b,d); (b,e); (b,f); (c,d); (c,e); (c,f); (d,e); (d,f) и (e,f). Пребройте ги - точно 15 са!

Ох, още нещо - учили ли сте статистика? Помните ли как изглежда нормалното разпределение (много в средата и все по-малко в краищата). Тук нямаме ли нещо подобно на всеки един ред?

Използвана литература: Почти цялата статия е преработка на Math is fun: Pascals Triangle. Вижте оригиналната статия - в нея има по-цветни картинки :)