* Задачи на Майкъл Шакълфорд #1
Публикувано на 07 септември 2009 в раздел Математика.
Няколко от сравнително лесните задачи на Майкъл Шакълфорд:
1. Имам две монети - една фалшива (двете и страни са ези) и една нормална (от едната страна ези, а от другата тура). Взех произволна от двете монети, хвърлих я на масата и се падна ези. Каква е вероятността като я обърна наобратно да видя отново ези?
2. Около 10% от хората са употребявали наркотици. Полицията използва полеви тест, който мери с точност от 90%. Един напълно случаен човек си върви по улицата, полицията го спира, правят му тест и резултатът е положителен. Каква е вероятността да е използвал наркотици?
3. Намерете най-малкото цяло положително число различно от нула, което се дели без остатък на 225 и се състои само от нули и единици.
4. Даваме ви един долар и ще играем на "ези-тура". Ако се падне ези ви удвояваме парите и продължаваме да играем. Ако се падне тура - спираме дотук. Така например ако се падне три пъти ези и след това тура, то вие ще имате 1.2.2.2 = 8 долара. Какво е математическото очакване за тази игра (тоест с колко пари се очаква да завършите ако разгледате задачата чрез теория на вероятностите)?
5. Колко квадрата можете да намерите чрез линиите нарисувани по шахматна дъска (която естествено е квадратна и съставена от квадратчета)?
6. Имате везна и четири тежести. С тях трябва да можете да премерите всяка тежест от 1 до 40 грама. По колко грама тежат тежестите?
7. Бил боядисва оградата за 20 часа, а Джордж за 30. За колко часа ще я боядисат заедно?
8. Класическа: на една река стоят трима човека, една голяма маймуна и две малки маймуни. Те имат една лодка, която може да прекара максимум 2 индивида през реката. Ако по което и да е време маймуните станат повече от хората, то те ще ги изядат. Помогнете на всички да преминат реката живи.
9. Хирург трябва да оперира трима различни пациенти, но има налични само две ръкавици. Как да ги оперира така, че да не си изцапа ръката с кръв и да не пипа пациент с чужда кръв?
@LesnaRabota:
Задача 1. Грешен отговор. Нека маркираме всяка страна на монета като Е и Т (ези и тура). От първата монета имаме Е1 и Е2. От втората имаме едно Е3 и едно Т. Тогава нека извадим произволна монета. Възможностите са да сме изтеглили:
E1
E2
E3
T
Тъй като сме изтеглили ези, то последната възможност я премахваме. Нека сега да видим какви са обратните страни на монетата, която евентуално сме изтеглили:
E1 -> E2
E2 -> E1
E3 -> T
Имаме две възможности за ези и едно за тура. Значи вероятността да е тура е 2 от общо 3, т.е. 2/3.
Задача 2. Отново грешен отговор.
Нека A е вероятността човекът да е наркоман, т.е. 10% и B е вероятността дрегерът да е точен, т.е. 90%. Вероятността човекът да НЕ е наркоман е A' или 90%. Така имаме:
P(A) = 0.1
P(A')= 1 - 0.1 = 0.9
P(B|A) = 0.9 - вероятността дрегерът да покаже положителен резултат при положение, че човекът е наркоман.
P(B|A') = 0.1 - вероятноста дрегерът да покаже положителен резултат при положение, че човекът НЕ е наркоман
=> P(B) = P(B|A)P(A) + P(B|A')P(A') - вероятността дрегерът да покаже положителен резултат при произволен човек.
От тук използваме формулата на Бейс:
P(A|B) = P(B|A).P(A)/P(B) - вероятността човекът да е наркоман, при положение, че дрегерът е отчел положителен резултат
=> P(A|B) = 0.9*0.1/[0.9*0.1 + 0.1*0.9] = 1/2
=> това, че дрегерът е отчел положителен резултат показва, че можем да твърдим с вероятност 50%, че човекът е използвал наркотици.
Задача 3. Верен отговор :)
Вероятностите са много объркващи. Дрегерът наистина засича с точност 90% и първоначално бихме казали, че вероятността да отчете грешка е логично 10%. Да, но когато включим и факорът, че общият процент на използвалите наркотици е сравнително малък - само 10%, но можем да погледнем задачата по обратния начин - имаме възможност за 10% грешка на дрегера върху множеството от 90% хора. Честно казано това не е никак малка възможността за грешка, за да съм по-точен - 50% :)
1. 50%
2. 10%
3. 11 111 111 100 : 225 = 49 382 716
9. Слага двете ръкавици една върху друга и оперира първия пациент. Маха горната и оперира втория пациент. Обръща тази, която е свалил и я слага върху долната.
Това трябва да е логиката, като неизвестно остава как ще оперира с една ръка и как ще маха и обръща горната ръкавица.
7. 12 h
Задачи 7 и 9. Правилни отговори :)
Остават 4, 5, 6 (много готина) и 8
задачи 1 и 2 ги праснах набързо, много ми се спеше и затова стана така...
задача 6 наистина е готина.
тежести от по 1, 3, 9, 27
получаваме 2=+3-1
5=+9-3-1
7=+9+1-3 и т.н.