* Стрелките на часовника под прав ъгъл
Публикувано на 28 февруари 2011 в раздел Математика.
Имаме стандартен аналогов часовник с две стрелки (за часове и за минути), които се движат плавно (без "прескачане"). Колко пъти в денонощието стрелките застават под прав ъгъл една спрямо друго?
За втората задача добавяме и стрелка за секунди, също движеща се плавно. Колко пъти в денонощието се получава ситуация, в която някои две от трите стрелки образуват прав ъгъл?
За денонощие, малката прави два оборота, а голямата 24. Т.е. голямата прави 22 оборота спрямо малката и на всеки оборот застава под прав ъгъл 2 пъти значи общо 44.
Ха сега де... кой от двамата е прав? :)
По първата задача бих казал за всеки час по два пъти, т.е. 24 х 2 = 48
На всеки час застават 2 пъти под прав ъгъл на различни минути с изключение на 2 часа, когато втория път се пада в 3:00 и 8 часа, когато 2рия път се пада в 9:00. Така че аз съм прав.
Аналогично за 2ра задача, малката се завърта 2 пъти, голямата се завърта 24 пъти, а секундарника се завърта 1440 пъти. От първа задача имаме 44 пъти между малката и голямата, остава да намерим колко пъти секундарника застава под прав ъгъл спрямо голямата и спрямо малката. За денонощие секундарника прави 1438 оборота спрямо малката значи застава 2876 пъти под прав ъгъл. За денонощие секундарника прави 1416 оборота спрямо голямата или 2832 пъти. Общо става 44+2876+2832=5752. От тях обаче трябва да извадим случаите когато 2 от стрелките са под прав ъгъл спрямо 3тата защото сме ги изброили по веднъж и за двете. Понеже скоростта на стрелките е постоянна заставането на дадена 2ка от тях се случва на равни интервали от време. Например малката и голямата застават под прав ъгъл всеки 1440/44 минути, малката и секундарника всеки 1440/2876 минути, голямата и секундарника на всеки 1440/2832 минути. Тогава трябва да намерим начално положение когато е изпълнено условието 2 стрелки да са под прав ъгъл на третата за да знаем че е възможно и тогава ще знаем че това се повтаря 4 пъти за денонощие тъй като най-големия общ делител и на 3те двойки е 4. Началното положение е 3:00, когато малката е под прав ъгъл на голямата и секундарника следователно изваждаме 4 от общия резултат = 5748. Оставям за някой друг да докаже че не е възможно голямата да е под прав ъгъл едновременно на малката и секундарника и секундарника да е под прав ъгъл на малката и голямата.
Така е - 44 са на първа задача.
Иване между 2 и 3 и между 8 и 9 часа има само един прав ъгъл. Точният час 3:00 и 9:00 е общ за двата периода.
Интересен ми стана въпросът повдигнат по-горе - възможно ли е едновременно две от стрелките да са перпендикулярни на третата. Истината е, че не се наемам да кажа "да" или "не".
> На всеки час застават 2 пъти под прав ъгъл на различни минути с изключение на 2 часа, когато втория път се пада в 3:00 и 8 часа, когато 2рия път се пада в 9:00.
Не съм съгласен :)
В 3 часа също има две положения - 3:00 и 3:30.
В 9 часа също - 9:00 и 9:30
Защо не ги броите?
според мен са 48 пъти а на една задача на едно състезание пише 4 пъти което е вярно защото трябва и минутите да са точни това е за 1 задача така е поне при състезанието ми не знам дали тук е същото.