C, PHP, VB, .NET

Законът за гравитацията е познат на всички добри ученици! Освен това всички знаят как е открит - една ябълка е паднала на главата на Исаак Нютон! Това е изключително силен принцип на методиката на обучение - учениците запомнят важните формули чрез увлекателна приказка. Но след като човек започне по-усилено да се задълбочава в науката, то неизменно се сблъсква с действителността, а тя е, че научни открития в следствие на удар по главата не се случват :)

Как все пак Нютон е стигнал до закона за гравитацията? Преди "инцидента с ябълката" Нютон е работил активно върху клон на висшата математика, която днес знаем като "диференциално и интегрално смятане". Чрез него като част от физиката той активно работил върху понятията "скорост" и "ускорение". Именно тези математически изследвания са го довели до въпросния важен физичен закон.

Всъщност би било по-коректно да се каже, че ябълките най-вероятно не са му падали върху главата, а той е използвал пример с падаща ябълка за практически проби. Самите разсъждения всъщност не са сложни. В момента преди да падне ябълката е неподвижна, тоест нейното ускорение е 0. В момента, в който ябълката започва да пада, тя получава ускорение. От тук по втория закон на Нютон (външна сила действаща на система, води до ускорение на системата) следва, че за да се получи ускорение, то трябва да действа някаква външна сила!

Така знаейки, че на системата "ябълка" действа външна сила, той кръщава тази сила с името "гравитация", а ускорението на ябълката - "ускорение в следствие на гравитация". От тук обаче тръгват важните за науката изследвания, а именно - каква точно е силата на гравитацията? Как да бъде измерена? Истината е, че с възможностите по онова време е било изключително трудно да се направи точна опитна постановка.

Важен е бил и познатият "закон за падащите тела" на Галилео Галилей, който гласи, че "при липса на съпротивление, тежките и леките тела падат с едно и също ускорение". Така чрез множество опити с "падащи ябълки" Нютон достигнал до познатата ви константа g (днес я знаем добре като приблизително 9.8 м/с²). Това било изчислено след като установил, че за една секунда ябълката извървява около 4,9 метра разстояние в посока към центъра на Земята (знаем формулата d = (a * t²) / 2, откъдето извеждаме ускорението).

За да докаже точността на константата, Нютон приложил принципа за обратната зависимост на квадрата на разстоянието. Представил си, че ябълката е закачена 60 пъти по-високо от центъра на Земята отколкото е в момента, т.е. на такова разстояние тя би извървяла 3600 пъти по-малко разстояние, отколкото ако е окачена на дървото или общо изключително малкото разстояние от 0,001361 метра.

А защо точно 60 пъти по-високо от центъра на Земята? По времето на Нютон се е знаело, че Земята има радиус около 6400 километра. Освен това се е знаело, че Луната се намира на около 384000 километра от повърхността на Земята. Естествено вече знаели, че Луната освен всичко друго се върти около Земята. Така изкачваме ябълката именно 60 пъти, за да бъде точно на равнището на Луната, т.е. да бъде в орбита!

Колкото до понятието "орбита" Нютон дал конкретен пример с т.нар. "орбитално оръдие на планината на Нютон":

Намерих тази картинка случайно в интернет. Илюстрацията показва идеята за мощно оръдие, което изстрелва гюле от голяма планина. Ако силата на изстрела е слаба, то гюлето "пада". Ако е достатъчно силно, то може да достигне до окръжност и да влезе в орбита, точно както Луната. По-късни разсъждения показват, че с увеличение на силата то ще приеме траектория на парабола и ще "избяга".

Изключително важно в случая е друго заключение на Нютон - ако няма сила на гравитацията, то Луната ще се движи по права линия с константна скорост. Оставало на Нютон да докаже, че Луната пада точно с 0,001361 метра в секунда в посока към Земята. Това е изключително малка стойност и на пръв поглед е много трудно да се докаже.

Истината е, че Нютон не е могъл да докаже много дълго време този факт (минали няколко години). Проблемът бил именно в неточния радиус на Земята, който той използвал. По-късно, с помощта на нови изчисления за радиуса на Земята от Пикард, той успял с изключително добра точност да достигне до теоретичния си резултат. Изчисленията показали, че ако няма гравитация Луната ще измине около 1000 метра в права линия. Това доближило с много голяма точност първоначалните изчисления на Нютон за Земното Ускорение.

Без да се впускаме в прекалено много подробности, разсъжденията продължават по следния принцип - защо Земята привлича ябълката, а не обратно? Защо ние сме в орбита на Слънцето, а не то на нас? Така в крайна сметка по този път се стигнало до и до универсалната формулировка, че телата се привличат взаимно като по-силната гравитационна сила идва от тялото с по-голяма маса (задрасканото твърдение е напълно невярно, благодаря на г-н. Пенчо Бочев за забележката):

Всички тела във вселената се привличат със сила пропорционална на произведението на техните маси и обратнопропорционална на квадрата на разстоянието между тях!

Записан с формула законът за гравитационните сили между две тела е:

F₁ = F₂ = g*m₁*m₂/r²

И така защо все пак "ябълката пада на Земята", а не обратното? А защо, след като се привличат с равна сила не се сблъсват "някъде по средата"?

Отговорът дошъл от втория закон на Нютон - F=m.a (силата е равна на масата по ускорението). Така получаваме, че F₁ (гравитационната сила на Земята спрямо ябълката) е равна на масата на Земята m₁ по ускорението, което Земята има в посока към ябълката a₁. Същото можем да кажем и за F₂ (гравитационната сила на ябълката спрямо Земята) - равна е на масата на ябълката m₂ умножена по ускорението на ябълката в посока Земята a₂. Да, но вече казахме, че двете сили са равни по големина и противоположни по посока! Така за големината на силите получаваме равенстното F₁ = m₁*a₁ = F₂ = m₂*a₂ . Да, но масата на Земята е изключително много пъти по-голяма от масата на ябълката - следователно ускорението на ябълката към Земята е също толкова изключително много пъти по-голямо от ускорението на Земята към ябълката. Ето защо ние виждаме "падането на ябълката към Земята", а обратното ("падането на Земята към ябълката") е невидимо за нас, т.е. пренебрежимо малко. С тези заключения като, че ли теорията за гравитацията на Нютон изглежда напълно завършена.

Дали Нютон е използвал ябълки в пробите си - може би да. Като че ли "ябълката ударила Нютон по главата" е по-скоро измислица на Уилям Стъкли в неговата книга "Спомени за сър Исаак Нютон" (информация от wikipedia). Друго популярно предположение е, че за първи път този мит е тръгнал от сестрата на Исаак Нютон. След това за "ябълката" са писали Йоан Кондуит и Волтер...

Ето няколко задачи:

1. Ако ябълката тежи 200 грама, то изчислете масата на Земята чрез закръглените стойности показани по-горе;
2. Изчислете с какво ускорение ще "паднете" към Земята ако сте близо до нейната повърхност и с какво ускорение Земята "ще падне към вас".