C, PHP, VB, .NET

Представям бърз, нередактиран и вероятно неточен превод, който направих днес на една статия от конференция миналата година. Надявам се да не се сърдите за неточностите, правописните грешки и стиловите грешки. Те са мое дело, а не на авторите.

Някои елементи от геометрията в Гърция и Кипър през 19ти век.
Детайлна справка за център на тежестта и подобие на триъгълници
описани в учебника на Коре през 1903г.

Евгениос Авгеринос, Костас Димитридис и Антониос Гагацис

6-та средиземноморска конференция за обучение по математика
стр. 393 – 406

Историята на обучението по математика стана едно от полетата на изследване в дидактиката по математика през последните десетилетия. В частност историята на изучаване на Евклидовата геометрия дава ценна информация за проследяване на пътя в математическото обучение като цяло. Тази статия представя първи опит за изследвания на тази тема в рамките на Кипър. В първата част се разглежда историята на математиката в Кипър през 19ти век, като се представят факти за обучителната система, аналитичните програми, методиката на обучение и книги или документи, които са били използвани. Във втората част се дава кратко сравнение на съдържанието на философията, която се намира в три книги за геометрията, които са използвани в Панкипърската гимназия през споменатия период. По нататък се дискутира по-разширена справка за центъра на тежестта и подобието на триъгълници, които са намерени в учебника на Коре от 1903г.

1. Историята на обучението по математика като тема за изследване в дидактиката по математика

„Според Джефри Ноусън историята на обучението по математика е една работилница на хора, които разработват обучаващи програми. Чрез изучаването на тази тема ние осъзнаваме по-добре комплексността и пътя в обучението по математика и пътя, по който обучението по математика си взаимодейства с обществото” (Шубринг, 1993 а.29).

Герт Шубринг казва, че традиционните подходи са лимитирани към анализ на административни документи като програмите или описанията; и към изучаването на учебници. Анализирането на административни документи е пренесено без разглеждане на комплексността на системата, която дефинира истинската действителност в училищното обучение. От другата страна обучението започва с концепцията, че учебникът говори сам за себе си докато историческия текст може да бъде разбран само в контекст. Проблемът, който се поражда тук е да се анализира връзката между текста и неговото написване. Обучението и училището са свързани със социални дейности така, че е напълно очевидно, че трябва да търсим методология в социалната история.

На базата на казаното по-горе Герт Шубринг предлага да се погледне историята на мисловната дейност. Това е направено в добре известната историческа школа на Аннале във Франция. Основните направления на методиката са теорията на социалната история и трансформацията на социалните знания. Социалните знания сочат към съществуването на обществена класа или социални групи, които подкрепят знанията. Основните раздели в тази програма са: (a) тяло (съдържание) на знанията; (b) социална група, която ги подкрепя; (c) ролята на разпръскването и трансформацията и (d) резултати. Такъв поглед ни дава възможност да съпоставим два противоположни полюса: обекта (знанието) и промяната на човешкото мислене като социално действие.

С по-горния критерий анализа на учебници по геометрия през 19ти век и началото на 20ти век в Гърция и Кипър включва:

a)      Научно математическо познание: къде е било в началото и как се е развило през периода;

b)      Дидактическа трансформация: за обучението в гимназиалния етап, част от който също е включен в учебниците;

c)      Аналитични програми: с обучителните периоди;

d)      Исторически и социални рамки: за споменатите периоди;

e)      Биографии: за да бъде анализиран професионалния живот, обучението, произхода, кариерата и професионалните дейности в допълнение на идеологията на учителите през тази ера;

f)       Хронологични и идеологични разлики между учебниците по геометрия от различни автори.

Този проект е разделен на две части. В първата част ще изучим обучението по математика в Кипър през 19ти век, с отношение към образователната система, аналитичните програми по геометрия, методологията на дидактиката и използваните учебници. Във втората част се прави общо сравнение между три учебника по геометрия, които са използвани едновременно и в Кипър и в Гърция. Това поражда издания на три различни автори с хронологични публикации в годините 1874, 1878 и 1903, както и специална препратка към темите за цетър на гравитация и подобие на фигури, които са намерени в учебника на Коре.

2. Обучението по математика в Кипър

Според историческите източници образователната система в Кипър е много сходна с тази в Гърция. Това не е изненадващо, като се вземе предвид, че Кипър е основан 1600 преди Христа като резултат от дейността на местни кипърци за приемането на гръцката цивилизация и нейните ценности. От тогава Кипър е вървял паралелно с Гърция, стриктно следвайки един и същи исторически път, дори и днес. Кипър е бил превозното средство на гръцки-христианската цивилизация още от византийски времена. Тяхната връзка с венецианци и франки събират кипърците около ортодоксалната църква, която естествено се заема със защитна роля. Нуждата от изучаване на религиозни текстове води свещенници и монаси към основаването и поддържането на училища разпръснати по всички точки на острова. Ситуацията продължава и през османското владичество, където гръцкия тип на обучение дори става още по-интензивен.

А) История

Ние разглеждаме историята на гимназиалното обучение в Кипър като изследваме историята на училищата в Никозия, откъдето са намерени писмени документи. Причината да се фокусираме в Никозия е, че другите градове обикновено следват нейните промени.

През 1741 архиепископ Филотеос основава „Училище за Гръцко Обучение и Музика”. „Ефрем от Атина”, добре известния учител от Гърция, е преподавал в училището следвайки програмата на училището в Патмос. В тази програма са се включвали: учене на азбуката, основни религиозни книги и византийска музика. Книгите били избрани от архиепископ Филотеос и от директора на училището. Главната цел на училището е била да подготви учители за други училища, които съществували в други градове и населени места, като били обучавани в основната система на обучението.

Първото училище от този тип е затворено през 1808 по неизвестни причини. На негово място „Гръцкото Училище” бива формирано през 1812 от великомъченик архиепископ Киприанос, с основна цел да обучава хора от Кипър използвайки гръцки език. Училището се преструктурира след 9ти юли 1821г. в създаването на „Централно Училище за Гръцко Обучение”, което е основано от архиепископ Панаретос. Това училище има клонове в Ларнака и Лимасол. Обучителната програма е почти изцяло ограничена до религиозно обучение, четене и писани.

Първите разширения на училището са документирани през 1859г., където вече се споменава за обучение по „религия, гръцки език, математика, турски език, френски език и италиански език”. Училището продължава да работи спокойно, като адаптира учебни програми от Гърция година след година. Според вестниците по онова време през 1887г. училището има пет (5) класа (само два по-малко от „Гръцката Гимназия”), а успешно завършилите ученици имат право да завършат обучението си в последната година в „Гръцката Гимназия” и да придобият диплома.

Кипърци живеещи извън страната и приятелски държави помагат за построяването на гимнация подобна на гръцката със напълно признати дипломи. Това би помогнало на кипърци да продължат тяхното обучение по-лесно в Гърция, вместо както до тогава в Сирия. По същото време (1892) се приема закон който забранява на всеки, който не е завършил едно от „гръцките училища” в Никозия, Ларнака и Лимасол да бъде учител. Междувременно кипърското общество в Египет започва да финансира организирането на споменатата гимназия. На 16ти май 1893 архиепископ Софрониос свиква събрание на жителите на Никозия, на което официално се решава да бъде създадена такава гимназия.

Б) Панкипърската гимназия

Комитетът за основаването на гимназията дава заявка в атинската философска асоциация „Парнассос” с искане: директор, който е завършил учителска специалност в Европа, гръцки учител специалист по латински език, теолог който е добър проповедник и преподавател по математика и физика. Президентът на асоциацията Николаос Политис изпраща компетентните учители за посочените постове, като сред тях и един пионер в обучението – учителя по математика и физика Николаос Каталанос.

От 1883г. до ден днешен Панкипърската гимназия се счита за най-интелектуалния институт в Кипър. Паралелно с неговата образователна роля се развиват културни, духовни и национални действия. Всяка година училището обновява програмата си в съответствие с „Класическо Гръцко Училище” и я изпраща в гърцкото министерство на образованието за одобрение. Така училището има напълно идентична програма с гръцката. Почти всички по-нови училища преди 1960г. действат по същия начин.

След въвеждането на Панкипърската гимназия (официално 12ти декември 1883г.) в своя реч на главния учител Делиос говори за учебната програма и за философията на образованието като цяло. Изучаваните предмети в програмата включват: (a) древногръцки език; (b) физика и математика; (c) чужди езици (английски и френски) и (d) практически уроци, спорт, музика и изкувство. Колкото до философията най-много се засяга образованието на хората в морални ценности и национално самосъзнание, но не като професионална подготовка. Съдържанието на уроците е достатъчно за постигане на множеството цели докато обучителните методи са различни. Накрая изграждането на комуникация и взаимно разбирателство с много развити европейски народи също е един основен параметър. Основната идея е, че училището предлага образование на следващите лидери на кипърската общност.

В) Образователна система

До 1892 година официално образователна система не е съществувала. С основаването на „Панкипърската гимназия” са заложени три основни образователни цели на национално ниво. Първо, че училищата трябва да дават правилно „гръцко” обучение, второ да се създават училища идентични с тези в Гърция и трето да се търси признание на училищата от гръцкото правителство.

Въпреки това се появяват и нови училища с различна структура – седем (7) класни гимназии приемащи ученици от четвърти (4) клас на основните училища. Тези основни училища обучават учениците си с три класа по-малко от стандартните основни училища в Гърция. Програмата пък предлага и незадължителна педагогическа подготовка за по-големите ученици. Именно нивото на тази подготовка обаче е била изключително стриктно следена особено в училищата в Никозия. Между 1896 и 1911 гимназиите започват да обучават с един клас по-малко (общо 6 класа), а основните училища увеличават програмата си с два (също общо 6 класа). Интересното е, че именно тази кипърска система (6 класа основно и 6 класа средно образование) по-късно се пренася в Гърция и се задържа много дълго време.

Г) Учебници по геометрия

Панкипърската гимназия основно използва учебници одобрени от гръцкото министерство на образованието. Между 1882 и 1892 „единствените одобрени учебници” са сериите публикувани от Йоанис Хаджидакис. Така и при поръчката на А. Теодороу за учебници (28ми август 1894) можем да видим 3 учебника на Хаджидакис: „Фундаментална тригонометрия”, „Алгебра” и „Теоретична аритметика”. Същите заглавия са поръчвани почти всяка година до 1899. В „Библиотеката Севериос” и в гимназиалните архиви обаче се намират и други учебници. Намерени са общо осем (8) заглавия от споменатия период.

Д) Дидактическа методология

Не сме сигурни за обучителните методи които са използвани особено в математиката. Николаос Каталанос споменава в неговите „Мемоари” иновативен метод, който той повдигал голям интерес не само в учениците му, но и в колегите му учители. На тази база можем да предположим, че Каталанос е въвел обучителния метод на Хербард в Кипър почти едновременно когато той е въведен в Гърция. В много случаи този метод е запазен за много години, но вече е прекъснат най-вече поради липса на учители за началните училища.

Е) Аналитични програми

В речта си на 12ти септември 1893, Делиос със задоволство описва когнитивните и емоционални цели за физиката и математиката, както и за другите предмети като цяло. Конкретно за физиката и математиката обаче той казва:

„Когнитивните цели са да могат учениците да разберат живата и неживата природа, която ги заобикаля; да разберат абстрактните релации на природни обекти с аспект към числата, големината и тяхната форма; да получат позитивни емпирични знания и усещане за обекти; и да събудим тяхния дух да преместват от релативно до абсолютно и да мислят логически от общи към абстрактни концепции, едно свойство типично само за хората. Емоционалните цели са да се отърсят учениците от суеверия и да се помогне да изградим интелектуално независими и свободни хора”

За аналитичната програма от 1903г. в писмото за одобрение от гръцкото министерство на образованието е споменато, че тази програма е била използвана успешно вече шест години. От времевата таблица се вижда, че от общо 217 периода, 96 са били свързани с филологически уроци и 32 за математика и физика. По-точно програмата по математика е следната:

a)      1ва форма: Практическа аритметика: писане и четене на числа, деление, дроби, десетични дроби, смесени числа, пропорции и обратни пропорции;

b)      2ра форма: Практическа аритметика: прости и сложни лихви, средни стойности, степени и корени. Теоретична аритметика: броене и четирите операции с цели числа;

c)      3та форма: Теоретична аритметика: деление, дроби, десетични дроби, смесени числа, корени, отношения и пропорции. Геометрия: първите две книги от планиметрията;

d)      4та форма: Геометрия: трета книга за планиметрия „с упражнения и приложения”. Алгебра: въведение, алгебрични изчислени и уравнения от първа степен;

e)      5та форма: Геометрия: четвърта книга по планиметрия и първите две книги за пространствени обекти. Алгебра: ирационални числа, корени и степени, уравнения от втора степен, прогресии, логаритми и сложна лихва;

f)       6та форма: Геометрия: последната книга с упражнения и приложение на всичко изучено от преди като цяло. Въвежда се допълнително и тригонометрия.

3. Презентация и сравнение на учебници

В опит да се изследват промените които настъпват в учебниците по геометрия едновременно в Гърция и Кипър за разгледания период, ние главно ще се концентрираме върху това какво е използвано в Кипър. Поглед към библиотеката „Сивериос” и гимназиалните архиви за периода 1874 – 1935г. можем да отбележим три основни заглавия. Книгите са:

a)      Деметриадис Г. (1874): „Елементи от геометрията – теория, практика и приложение за училищата”. Константинопол.

b)      Дамаскинос А. (1878): „Елементи от геометрията. Легенди”. Пето издание. Атина.

c)      Коре М. (1903): „Елементи от геометрията” за гимназиални студенти и подготовка за училище. Атина.

A. Основни характеристики на учебниците

Антониос Дамаскинос е учител със силно вдъхновение от Франция. Неговата книга е превод на елементите от геометрията на Легендре. Тази геометрия доминира в обучението по геометрия в Гърция през целия 19ти век. В неговия пролог той представя вижданията си за ролята на училищата и учителите, както и за стойността на учебниците. Важно по това време е голямото внимание, което той дава на яснотата на доказателствата и за езика използван в текстовете, като чрез тях се постига разбираемост и последователност в разбирането на учениците. Съдържанието на учебника е най-общо разделено на планиметрия и пространствена геометрия, като по-конкретно е разделена на 8 глави – същата структура която използва и Легендре.

Георгиос Деметриадис е механик и насочва своят учебник към учениците и други които желаят да получат практически знания за геометрията и топографията. Така той във всеки параграф дава практически приложения на задачи от измерването на земя и от механиката. В предговора на книгата си той дава разширена препратка към историята на математиката и най-вече за Древна Гърция, Византия и Европа с Декарт, Нютон, Лайбниц и Лаплас. Той също дава кратък очерк за съвременните гръцки математици. Авторът спори, че съществуващите учебници са напълно теоретични и като резултат концепциите не се разбират от учениците. Неговият учебник засяга само планиметрията и е разделен на 13 глави. Вместо заглавие всяка глава започва с кратко резюме. Така например в първата глава можем да прочетем:

„Точки и прави линии върху Земята или върху карта. Равнина. Дефиниция на ъгли. Приложения. Чертане на прави линии върху Земята или карти. Мерене на линии. Верига. Полюс. Измерителна линия. Метален декаметър. Шублер”

По общо може все пак да се каже, че структурата следва тази на Легендре, но всяка една част е много по-детайлна.

М. Коре е преподавател по математика. Неговия учебник се използва за гимназиалните и подготвителните класове. През този период всеки ученик за първи път в историята на Кипър притежава свой собствен учебник. Преди това учебниците са били само за използване от учителя.  Коре отбелязва със звездичка тези части от геометрията, които могат да бъдат пропускани в случай, че няма достатъчно време за изучаване – доста честа практика през този период. Все пак той уточнява, че тези точки също са много важни за учениците, които искат да се занимават с математика и в бъдеще.

В учебника на Коре ние се сблъскваме със стандартното разделение на планиметрия и пространствена геометрия и сходна структура на учебника както при другите автори. Изданието с което разполагаме има грешки в номерацията на главите, параграфите и под-параграфите, като естествено няма как да отговорим на въпроса дали това е грешка на автора или на издателите.

Форматът и на трите учебника има много предимства. Разработването на печатници по онова време позволява вмъкване на фигури сред текста. Учебникът на Коре показва най-добрия печат въпреки, че и книгата на Деметриадис има доста добра типография. Сложните гравирюри в подкрепа на структурата на теорията подчертават естетичността на учебника.

По детайлно сравнение на споменатите учебници може да бъде видяно в статията „Някои елементи от геометрията в Гърция и Кипър през 19ти век” от 4та Средиземноморска Конференция по Математическо Образование в Палермо, Италия от януари 2005г.

Б. Изключителна теорема

В края на раздела за полигони Коре дава следната теорема:

„Когато са дадени няколко точки в равнината, то винаги можем да намерим точка от нея, чиято дистанция от права линия взета като абциса ще бъде равна на средната дистанция на всички точки до тази абциса”

Доказателството на тази теорема е постигнато като се вземат последователно многоъгълници, които имат изпъкналост по средите на предишните линии. Така имаме краен подход при който намираме точка, която е наречена „център на средната дължина между стартовите точки”. Има и два специални случая, които се споменават:

„Във всеки триъгълник центъра на средните разстояния от върховете съвпада с пресечната точка на медианите”

„... във всеки четириъгълник центъра на средните разстояния съвпада с пресечната точка на диагоналите”

Става ясно, че „център на средните разстояния” е друго име на познатия днес „център на тежестта”. Според Гкиока, Карнот вкарва термина „център на тежестта”. Той също казва:

„Смятаме, че практически въвеждането на термина „център на средните разстояния” и „център на тежестта” в „Елементи на геометрията” са направени от Боблиер в „Cours de geom.” на страници 55-83”

Можем да намерим подобно изказване за един триъгълник „Геометрични упражнения за йезуитите” написан от Гкиока:

„Сумата на разстоянията между ъглите на триъгълник до всяка права линия е равна на сумата от разстоянията между средите на страните до тази линия”

Въпреки отсъствието на тази теорема в другите учебници по геометрия, все пак има някои специални случая, в които тя се появява под формата на упражнение:

В книгата „Упражнения и задачи в геометрията” (16та публикация), ние намираме точно три подобни упражнения. Първата е задача 272, и гласи следното:

„Сумата на разстоянията от върховете на правоъгълник до права, която не го пресича, е равна на четири пъти разстоянието от пресечната точка на диагоналите на правоъгълника до тази линия”

Другите две упражнения са под номера 291 и 291 на страници 125-126 и те засягат триъгълник. За тези три упражнения Тогкас предлага да се използва и йезуитското решение за трапец.

Горната теорема не се среща в учебниците на Деметриадис, Дамаскинос и други учебници по геометрия, които са се изучавали, като например „Теоритична геометрия” на П. Тонга, „Голямата геометрия” на Н. Николаос (1962) и доли „Модерната Евклидова геометрия” на Томаидис, Ксеноу, Пантелиди, Палоу и Стамоу (2000) и Агиропополу, Бламоу, Катсоули, Маркати Сидери (2000). Не участва и в „Елементи” (K.E.EO.EK., 2001).

Все пак подобна теорема участва като частен случай в „Евклидова геометрия” на Спирос Канелос (1975), където се казва:

„Когато начертаем права линия, която минава през пресечната точка на медианите на триъгълник ABC, сумата на разстоянията от двата върха от едната страна на линията до тази линия е равна на разстоянието от третия връх до тази линия”

Горната теорема ни помага при доказването на теоремата, която гласи:

„Обемът на фигурата получена от завъртането на триъгълник около ос лежаща на същата равнина в която е триъгълника и нямаща общи точки с триъгълника, е равна на лицето на триъгълника умножено по лицето на окръжността, която описва центъра на тежестта при завъртането”

Обобщение на горната теорема е известната теорема на Папоус от Александрия, който я формулира не само за триъгълник или многоъгълник, а за всяка затворена фигура в равнина. Теоремата според Д. Тсимпоураки се появява в осмата книга на Папоус. Тя прилага теорията на механиката и по-точно теорията на център на тежестта и прости машини, където изучаването е стриктно базирано на критерии от Евклидовата геометрия върху естествени фигури.

Коре всъщност включва теоремата на Папоус без да я цитира в последната част на учебника си:

„Обемът на фигурата получена от завъртането на която и да е затворена фигура в равнина около ос от същата равнина е равна на произведението на лицето на фигурата и окръжността описана от центъра на тежестта на фигурата”.

Тази теорема се дава веднага след даването на теоремата за завъртане на права линия. Тя се решава чрез „безкрайно много равни частици” от линията.

При Коре главата за подобност взима особено значение поради неговите препратки към хомотетията. Хомотетията е дадена като подреждане на две фигури, а не като точки на трансформация. Така два полигона са подобни ако те са „хомотетично равни” с успоредни страни. Правите линии, които свързват върховете се наричат „носещи радиуси” и тяхната обща точка се нарича „център на хомотетия”.

Разликата между директната хомотетия и обратната хомотетия е позицията на двата многоъгълника. При директната хомотетия и двата многоъгълника лежат от едната страна на центъра на хомотетия, а при обратната хомотетия центъра на хомотетията е между тях.

И в двата вида хомотетия отношението на разстоянията до центъра на хомотетията се нарича „отношение на подобност”.

От примерите на автора става ясно, че всеки два многоъгълника в обратна хомотетия могат да бъдат преобразувани в директна хомотетия при завъртане на един от двата на 180 градуса около центъра на хомотетията. Накрая той предлага метод за намиране на всички многоъгълници „хомотетични” на даден многоъгълник като променя отношението на подобност от 0 до безкрайност.

Теоремата за хомотетия на две окръжности също е изключително интересна:

„Всеки две окръжности са едновременно директно и обратно хомотетични”

Доказателството се състои в това, че всеки два успоредни радиуса на двете окръжности са също успоредни и в обратна посока, като отношението се запазва. Така в случая за окръжности винаги имаме два центъра на хомотетия. В заключение авторът изказва следното твърдение:

„За всеки две окръжности общите външни допирателни се пресичат в центъра на директната хомотетия, а общите вътрешни допирателни се пресичат в центъра на обратната хомотетия”

Трябва да споменем по исторически причини, че според йезуитите изучаването на подобни фигури е въведено и изследвано от Талес. От друга страна директната хомотетия е изследвана от Понкле през 1822г. Термина „хомотетични фигури” е даден от Часле през 1827г., а термина „център на подобност” и пълното му изследване е направено още от Ойлер.

Коре се връща към хомотетията в края на учебника в главата „За хомотетични пространствени фигури”, където той разширява хомотетията в три измерения. По нататък той изяснява, че дефиницията за хомотетия при пространствени фигури е същата както и хомотетията в равнината.

Въвеждането на хомотетия в геометрията ни навежда на мисълта, че Коре е бил вдъхновен от математическия анализ. Въпреки, че показва на хомотетия по такъв опростен начин той все пак доближава учениците до геометрични трансформации.

4. Заключения

• Френско влияние в дидактиката на геометрията и много преводи на книгата на Легендре от 19ти и 20ти век;
• Гърция и Кипър използват една и съща дидактика в учебниците си;
• Главният дидактически метод е междупредметния (интердисциплинарен);
• Методът на Хербард е въведен в Гърция 10 години по-рано от Кипър;
• Учителите (от гръцката гимназия) са завършили гръцки, френски или немски университети;
• Няма значителни разлики в аналитичните програми между Гърция и Кипър;
• Тримата автори не следват „Елементи” на Евклид;
• Дамаскиниос: силно френско влияние. Неговият учебник е превод на Легендре. Посочва използването на интуитивни правила и доказателства. Използва курса на преминаване от общото до специфичното;
• Деметриадис: желание да адаптира учебника за производствени нужди. Избягва много „ненужни” задачи, но има силата на прости доказателства и много приложения в практиката. Той дефинира специалните четириъгълници като различни същности;
• Коре: вмъква значителна част от векторите и математическия анализ. Прави опит да се въведе модерен път на мислене. Той дефинира линиите като образувания от движещи се точки и равнините като образувания от движещи се линии. Окръжността е дефинирана като геометрично място на точки;
• Коре дава теоремата за „център на средните разстояния, която не може да бъде намерена в друг гръцки учебник по геометрия преди него.
• Коре използва хомотетията в равнината и пространството и изучава подобието в напълно различен начин от Евклид. Чрез серии от доказателства той използва граници и безкрайности.

5. Общо заключение

• И до днес има стремеж към намиране на баланс между историческото наследство от Евклид и нови математически идеи;
• Изучаването на история на дидактиката на геометрията и различните предписания написани в учебниците е може би най-добрия начин за обогатяване на знанието не само за математиката, а за дидактическа трансформация;

Полето на изледвания в този проект е отворено и за по-нататъшни изследвания.