C, PHP, VB, .NET

Задача 1. Нека векторите [mathi]e_1, e_2, e_3[/mathi] са база на линейното пространство [mathi]L[/mathi]. Дадени са базите:

[math]a_1=e_1-e_3\\a_2=2e_1+e_2+3e_3\\a_3=-e_1+2e_2[/math]

и

[math]b_1=e_1-e_2+5e_3\\b_2=4e_1+7e_2+9e_3\\b_3=2e_1+3e_2+2e_3[/math]

както и векторът [mathi]v=e_1+5e_2+2e_3[/mathi]

Намерете:

a) Матрицата на прехода [mathi]T_{a-b}[/mathi] от базата [mathi]a_1, a_2, a_3[/mathi] към базата [mathi]b_1, b_2, b_3[/mathi]

б) Координатите на вектор [mathi]v[/mathi] в базата [mathi]a_1, a_2, a_3[/mathi]

в) Координатите на вектор [mathi]v[/mathi] в базата [mathi]b_1, b_2, b_3[/mathi]

Задача 2. Нека векторите [mathi]e_1, e_2, e_3[/mathi] са база на линейното пространство [mathi]L[/mathi]. Дадени са базите:

[math]a_1=e_1+e_2+4e_3\\a_2=-2e_1+e_2\\a_3=3e_1+e_2-e_3[/math]

и

[math]b_1=-3e_1+2e_2+9e_3\\b_2=2e_1+3e_2+3e_3\\b_3=-8e_1+e_2-8e_3[/math]

както и векторът [mathi]v=-4e_1+20e_2+25e_3[/mathi]

Намерете:

a) Матрицата на прехода [mathi]T_{a-b}[/mathi] от базата [mathi]a_1, a_2, a_3[/mathi] към базата [mathi]b_1, b_2, b_3[/mathi]

б) Координатите на вектор [mathi]v[/mathi] в базата [mathi]a_1, a_2, a_3[/mathi]

в) Координатите на вектор [mathi]v[/mathi] в базата [mathi]b_1, b_2, b_3[/mathi]

Задача 3. Нека векторите [mathi]e_1, e_2, e_3[/mathi] са база на линейното пространство [mathi]L[/mathi]. Дадени са базите:

[math]a_1=3e_1+e_3\\a_2=-2e_1+e_2+e_3\\a_3=e_1+2e_2[/math]

и

[math]b_1=-5e_1-e_2+4e_3\\b_2=4e_1+e_2+3e_3\\b_3=3e_1+10e_2+3e_3[/math]

както и векторът [mathi]v=-4e_1+8e_2-10e_3[/mathi]

Намерете:

a) Матрицата на прехода [mathi]T_{a-b}[/mathi] от базата [mathi]a_1, a_2, a_3[/mathi] към базата [mathi]b_1, b_2, b_3[/mathi]

б) Координатите на вектор [mathi]v[/mathi] в базата [mathi]a_1, a_2, a_3[/mathi]

в) Координатите на вектор [mathi]v[/mathi] в базата [mathi]b_1, b_2, b_3[/mathi]

Задача 4. При кои стойности на параметъра [mathi]p[/mathi] векторът [mathi]v=(1,2,5,6)[/mathi] се изразява като линейна комбинация на векторите:

[math]a_1=(1,2,1,3)\\a_2=(-2,-1,1,0)\\a_3=(1,1,2,3+p)[/math]

Задача 5. При кои стойности на параметъра [mathi]p[/mathi] векторът [mathi]v=(0,0,2,1)[/mathi] се изразява като линейна комбинация на векторите:

[math]a_1=(1,2,2,1)\\a_2=(2,1,4,2)\\a_3=(3,3,4,7+p)[/math]

Задача 6. При кои стойности на параметрите [mathi]p[/mathi] и [mathi]q[/mathi] векторът [mathi]v=(0,-2,q)[/mathi] се изразява като линейна комбинация на векторите:

[math]a_1=(1,1,-1)\\a_2=(0,-2,1)\\a_3=(1,p,1)[/math]

Задача 7. При каква стойност на параметъра [mathi]p[/mathi] са линейно зависими векторите:

[math]a_1=(1,-1,-1,1)\\a_2=(-2,0,1,-1)\\a_3=(1,0,2,1)\\a_4=(1,-2,p,2)[/math]

Задача 8. Намерете ранга на матрицата в зависимост от стойностите на параметъра [mathi]p[/mathi]:

[math]A=\left(\begin{matrix}p&0&-3&2\\3&2&1&0\\1&-2&-7&4\\7&-2&-16&10\end{matrix}\right)[/math]

Задача 9. Намерете ранга на матрицата в зависимост от стойностите на параметъра [mathi]p[/mathi]:

[math]A=\left(\begin{matrix}1&1&1&1\\1&2&p&3\\1&4&p^2&9\\1&8&p^3&27\end{matrix}\right)[/math]

Задача 10. Намерете фундаментална система от решения на системата:

[math]\left|\begin{matrix}x_1-2x_2+x_3-2x_4+x_6+3x_7=0\\3x_1+x_2+3x_3-6x_4+x_5-x_6=0\\7x_1+7x_2+7x_3-14x_4+3x_5-5x_6-6x_7=0\\4x_1+6x_2+4x_3-8x_4+x_5-4x_6-6x_7=0\end{matrix}\right.[/math]

Задача 11. Съставете система от линейни хомогенни уравнения, множеството на решенията на която съвпада с линейната обвивка на векторите:

[math]a_1=(2,-3,0,1,-2)\\a_2=(3,0,1,-1,2)\\a_3=(7,-6,1,1,-2)[/math]

Упътване: намерете фундаменталната система решения на линейната хомогенна система съставена от векторите и след това съставете линейна хомогенна система от нея.

Задача 12. Съставете система от линейни хомогенни уравнения, множеството на решенията на която съвпада с линейната обвивка на векторите:

[math]a_1=(2,-1,0,3,1)\\a_2=(3,1,1,-2,1)\\a_3=(1,-3,-1,8,1)\\a_4=(4,3,2,-7,1)[/math]

Задача 13. Намерете база на сумата и база на сечението на подпространствата [mathi]L_1[/mathi] и [mathi]L_2[/mathi] ако те са линейните обвивки [mathi]L_1=l(a_1,a_2,a_3)[/mathi] и [mathi]L_2=l(b_1,b_2,b_3)[/mathi] на векторите:

[math]a_1=(1,-1,0,2,0)\\a_2=(0,1,-2,0,0)\\a_3=(2,1,0,0,1)[/math]

и

[math]b_1=(1,0,-2,2,0)\\b_2=(2,-1,-2,4,0)\\b_3=(1,2,1,0,1)[/math]

Упътване: Сумата [mathi]S[/mathi] на подпространствата ще бъде линейната обвивка [mathi]S=l(a_1,a_2,a_3,b_1,b_2,b_3)[/mathi].

База на [mathi]S[/mathi] ще бъде всяка максимална линейно независима подсистема от вектори.

За да намерите база на сечението на подпространствата намерете последователно:

1. Фундаментална система от решения на хомогенната система от линейни уравнения с коефициенти координатите на векторите [mathi]a_1,a_2,a_3[/mathi]

2. Фундаментална система от решения на хомогенната система от линейни уравнения с коефициенти координатите на векторите [mathi]b_1,b_2,b_3[/mathi]

3. Фундаментална система от решения на хомогенната система от линейни уравнения с коефициенти координатите на векторите намерени в точки 1. и 2.

Намерените вектори в 3. ще бъдат база на сечението.