C, PHP, VB, .NET

Задача 1. В Евклидовото пространство $R_5$ със скаларно произведение $(x,y)=x_1{y}_1+x_2{y}_2+x_3{y}_3+x_4{y}_4+x_5{y}_5$ са дадени векторите:

$$\begin{array}{c}{a}_1=(2,1,-1,1,1)\\ a_2=(5,1,-2,1,2)\\ a_3=(4,6,-2,4,4)\end{array}$$

Намерете ортогонална база на линейната обвивка $l(a_1,a_2,a_3)$

Задача 2. В Евклидовото пространство $R_5$ със скаларно произведение:

$$(x,y)=2x_1{y}_1+2x_2{y}_2+2x_3{y}_3+2x_4{y}_4+2x_5{y}_5+x_1{y}_2+x_2{y}_1+x_3{y}_4+x_4{y}_3$$

са дадени векторите:

$$\begin{array}{c}{a}_1=(1,0,1,-1,1)\\ a_2=(2,0,3,-1,2)\\ a_3=(-1,0,1,3,-1)\end{array}$$

Намерете ортогонална база на линейната обвивка $l(a_1,a_2,a_3)$

Задача 3. В Евклидовото пространство $R_5$ със скаларно произведение:

$$(x,y)=x_1{y}_1+x_2{y}_2+x_3{y}_3+x_4{y}_4+x_5{y}_5$$

са дадени векторите:

$$\begin{array}{c}{a}_1=(1,-1,2,3,1)\\ a_2=(1,1,2,1,1)\\ a_3=(1,-5,2,7,1)\end{array}$$

Намерете ортогонална база на линейната обвивка $l(a_1,a_2,a_3)$

Задача 4. Дадено е четиримерно Евклидово пространство в $R_4$ със скаларно произведение $(x,y)=x_1{y}_1+x_2{y}_2+x_3{y}_3+x_4{y}_4$

Докажете, че векторите $a=(2,1,3,-1)$, $b=(3,1,-2,1)$ и $c=(1,-3,1,2)$ са ортогонални и ги допълнете до ортогонален базис.

Задача 5. Дадено е Евклидово пространство $R_3$ със скаларно произведение $(x,y)=x_1{y}_1+x_2{y}_2+x_3{y}_3$ и базис от векторите $e_1,e_2,e_3$

Постройте ортогонален базис изхождайки от векторите:

$$\begin{array}{c}{a}_1=e_1+2e_2+3e_3\\ a_2=2e_2\\ a_3=3e_3\end{array}$$

Задача 6. Дадено е Евклидово пространство $R_3$ със скаларно произведение $(x,y)=x_1{y}_1+x_2{y}_2+x_3{y}_3$ и базис от векторите $e_1,e_2,e_3$.

Постройте ортогонален базис изхождайки от векторите:

$$\begin{array}{c}{a}_1=e_1\\ a_2=e_2-e_3\\ a_3=e_1+e_2+e_3\end{array}$$

Задача 7. Дадено е Унитарно пространство $C_3$ със скаларно произведение $(x,y)=x_1{y}_1+x_2{y}_2+x_3{y}_3$ и базис от векторите $e_1,e_2,e_3$.

Постройте ортогонален базис изхождайки от векторите:

$$\begin{array}{c}{a}_1=e_1+e_2+i{e}_3\\ a_2=i{e}_1+e_2+e_3\\ a_3=i{e}_1+i{e}_2+i{e}_3\end{array}$$

Задача 8. Дадено е Евклидово пространство $R_4$ със скаларно произведение $(x,y)=x_1{y}_1+x_2{y}_2+x_3{y}_3+x_4{y}_4$. Докажете, че системата от векторите $a_1,a_2$ е ортогонална и я допълнете до ортогонален базис, ако:

$$\begin{array}{c}{a}_1=(1,1,1,2)\\ a_2=(1,2,3,-3)\end{array}$$

Задача 9. Дадено е Евклидово пространство $R_3$ със скаларно произведение $(x,y)=x_1{y}_1+x_2{y}_2+x_3{y}_3$ и базис от векторите $e_1,e_2,e_3$.

Постройте ортогонален базис изхождайки от векторите:

$$\begin{array}{c}{a}_1=2e_1-e_2+2e_3\\ a_2=-e_1-e_2-e_3\\ a_3=e_1-3e_3\end{array}$$

Задача 10. Дадено е Евклидово пространство $R_4$ със скаларно произведение $(x,y)=x_1{y}_1+x_2{y}_2+x_3{y}_3+x_4{y}_4$. Докажете, че системата от векторите $a_1,a_2$ е ортогонална и я допълнете до ортогонален базис, ако:

$$\begin{array}{c}{a}_1=(1,-1,-1,3)\\ a_2=(1,1,-3,-1)\end{array}$$

Задача 11. Дадено е Евклидово пространство $R_4$ със скаларно произведение $(x,y)=x_1{y}_1+x_2{y}_2+x_3{y}_3+x_4{y}_4$.

Намерете ортонормиран базис на ортогоналното допълнение на линейната обвивка на векторите:

$$\begin{array}{c}{a}_1=(1,1,1,1)\\ a_2=(2,2,-1,-1)\\ a_3=(1,1,-2,-2)\end{array}$$

Задача 12. Дадено е Евклидово пространство $R_4$ със скаларно произведение $(x,y)=x_1{y}_1+x_2{y}_2+x_3{y}_3+x_4{y}_4$.

Намерете ортонормиран базис на ортогоналното допълнение на линейната обвивка на векторите:

$$\begin{array}{c}{a}_1=(1,1,1,1)\\ a_2=(3,1,-1,-1)\\ a_3=(-1,0,3,4)\end{array}$$