C, PHP, VB, .NET

Дневникът на Филип Петров


* Евклидови и унитарни пространства – задачи за упражнение

Публикувано на 06 септември 2019 в раздел Линейна алгебра.

Задача 1. В Евклидовото пространство R5 със скаларно произведение (x,y)=x1y1+x2y2+x3y3+x4y4+x5y5 са дадени векторите:

a1=(2,1,1,1,1)a2=(5,1,2,1,2)a3=(4,6,2,4,4)

Намерете ортогонална база на линейната обвивка l(a1,a2,a3)

Задача 2. В Евклидовото пространство R5 със скаларно произведение:

(x,y)=2x1y1+2x2y2+2x3y3+2x4y4+2x5y5+x1y2+x2y1+x3y4+x4y3

са дадени векторите:

a1=(1,0,1,1,1)a2=(2,0,3,1,2)a3=(1,0,1,3,1)

Намерете ортогонална база на линейната обвивка l(a1,a2,a3)

Задача 3. В Евклидовото пространство R5 със скаларно произведение:

(x,y)=x1y1+x2y2+x3y3+x4y4+x5y5

са дадени векторите:

a1=(1,1,2,3,1)a2=(1,1,2,1,1)a3=(1,5,2,7,1)

Намерете ортогонална база на линейната обвивка l(a1,a2,a3)

Задача 4. Дадено е четиримерно Евклидово пространство в R4 със скаларно произведение (x,y)=x1y1+x2y2+x3y3+x4y4

Докажете, че векторите a=(2,1,3,1), b=(3,1,2,1) и c=(1,3,1,2) са ортогонални и ги допълнете до ортогонален базис.

Задача 5. Дадено е Евклидово пространство R3 със скаларно произведение (x,y)=x1y1+x2y2+x3y3 и базис от векторите e1,e2,e3

Постройте ортогонален базис изхождайки от векторите:

a1=e1+2e2+3e3a2=2e2a3=3e3

Задача 6. Дадено е Евклидово пространство R3 със скаларно произведение (x,y)=x1y1+x2y2+x3y3 и базис от векторите e1,e2,e3.

Постройте ортогонален базис изхождайки от векторите:

a1=e1a2=e2e3a3=e1+e2+e3

Задача 7. Дадено е Унитарно пространство C3 със скаларно произведение (x,y)=x1y1+x2y2+x3y3 и базис от векторите e1,e2,e3.

Постройте ортогонален базис изхождайки от векторите:

a1=e1+e2+ie3a2=ie1+e2+e3a3=ie1+ie2+ie3

Задача 8. Дадено е Евклидово пространство R4 със скаларно произведение (x,y)=x1y1+x2y2+x3y3+x4y4. Докажете, че системата от векторите a1,a2 е ортогонална и я допълнете до ортогонален базис, ако:

a1=(1,1,1,2)a2=(1,2,3,3)

Задача 9. Дадено е Евклидово пространство R3 със скаларно произведение (x,y)=x1y1+x2y2+x3y3 и базис от векторите e1,e2,e3.

Постройте ортогонален базис изхождайки от векторите:

a1=2e1e2+2e3a2=e1e2e3a3=e13e3

Задача 10. Дадено е Евклидово пространство R4 със скаларно произведение (x,y)=x1y1+x2y2+x3y3+x4y4. Докажете, че системата от векторите a1,a2 е ортогонална и я допълнете до ортогонален базис, ако:

a1=(1,1,1,3)a2=(1,1,3,1)

Задача 11. Дадено е Евклидово пространство R4 със скаларно произведение (x,y)=x1y1+x2y2+x3y3+x4y4.

Намерете ортонормиран базис на ортогоналното допълнение на линейната обвивка на векторите:

a1=(1,1,1,1)a2=(2,2,1,1)a3=(1,1,2,2)

Задача 12. Дадено е Евклидово пространство R4 със скаларно произведение (x,y)=x1y1+x2y2+x3y3+x4y4.

Намерете ортонормиран базис на ортогоналното допълнение на линейната обвивка на векторите:

a1=(1,1,1,1)a2=(3,1,1,1)a3=(1,0,3,4)

 



Добави коментар

Адресът на електронната поща няма да се публикува


*