C, PHP, VB, .NET

Задача 1. В Евклидовото пространство [mathi]R_5[/mathi] със скаларно произведение [mathi](x,y) = x_1y_1+x_2y_2+x_3y_3+x_4y_4+x_5y_5[/mathi] са дадени векторите:

[math]\begin{matrix}a_1=(2,1,-1,1,1) \\ a_2=(5,1,-2,1,2) \\ a_3=(4,6,-2,4,4)\end{matrix}[/math]

Намерете ортогонална база на линейната обвивка [mathi]l(a_1,a_2,a_3)[/mathi]

Задача 2. В Евклидовото пространство [mathi]R_5[/mathi] със скаларно произведение:

[math](x,y) = 2x_1y_1+2x_2y_2+2x_3y_3+2x_4y_4+2x_5y_5+x_1y_2+x_2y_1+x_3y_4+x_4y_3[/math]

са дадени векторите:

[math]\begin{matrix}a_1=(1,0,1,-1,1)\\a_2=(2,0,3,-1,2)\\a_3=(-1,0,1,3,-1)\end{matrix}[/math]

Намерете ортогонална база на линейната обвивка [mathi]l(a_1,a_2,a_3)[/mathi]

Задача 3. В Евклидовото пространство [mathi]R_5[/mathi] със скаларно произведение:

[math](x,y) = x_1y_1+x_2y_2+x_3y_3+x_4y_4+x_5y_5[/math]

са дадени векторите:

[math]\begin{matrix}a_1=(1,-1,2,3,1)\\a_2=(1,1,2,1,1)\\a_3=(1,-5,2,7,1)\end{matrix}[/math]

Намерете ортогонална база на линейната обвивка [mathi]l(a_1,a_2,a_3)[/mathi]

Задача 4. Дадено е четиримерно Евклидово пространство в [mathi]R_4[/mathi] със скаларно произведение [mathi](x,y) = x_1y_1+x_2y_2+x_3y_3+x_4y_4[/mathi]

Докажете, че векторите [mathi]a=(2,1,3,-1)[/mathi], [mathi]b=(3,1,-2,1)[/mathi] и [mathi]c=(1,-3,1,2)[/mathi] са ортогонални и ги допълнете до ортогонален базис.

Задача 5. Дадено е Евклидово пространство [mathi]R_3[/mathi] със скаларно произведение [mathi](x,y)=x_1y_1+x_2y_2+x_3y_3[/mathi] и базис от векторите [mathi]e_1,e_2,e_3[/mathi]

Постройте ортогонален базис изхождайки от векторите:

[math]\begin{matrix}a_1= e_1+2e_2+3e_3\\a_2 = 2e_2\\a_3 = 3e_3\end{matrix}[/math]

Задача 6. Дадено е Евклидово пространство [mathi]R_3[/mathi] със скаларно произведение [mathi](x,y)=x_1y_1+x_2y_2+x_3y_3[/mathi] и базис от векторите [mathi]e_1,e_2,e_3[/mathi].

Постройте ортогонален базис изхождайки от векторите:

[math]\begin{matrix}a_1= e_1\\a_2 = e_2-e_3\\a_3 = e_1+e_2+e_3\end{matrix}[/math]

Задача 7. Дадено е Унитарно пространство [mathi]C_3[/mathi] със скаларно произведение [mathi](x,y)=x_1y_1+x_2y_2+x_3y_3[/mathi] и базис от векторите [mathi]e_1,e_2,e_3[/mathi].

Постройте ортогонален базис изхождайки от векторите:

[math]\begin{matrix}a_1= e_1+e_2+ie_3\\a_2 = ie_1+e_2+e_3\\a_3 = ie_1+ie_2+ie_3\end{matrix}[/math]

Задача 8. Дадено е Евклидово пространство [mathi]R_4[/mathi] със скаларно произведение [mathi](x,y)=x_1y_1+x_2y_2+x_3y_3+x_4y_4[/mathi]. Докажете, че системата от векторите [mathi]a_1,a_2[/mathi] е ортогонална и я допълнете до ортогонален базис, ако:

[math]\begin{matrix}a_1= (1,1,1,2)\\a_2 = (1,2,3,-3)\end{matrix}[/math]

Задача 9. Дадено е Евклидово пространство [mathi]R_3[/mathi] със скаларно произведение [mathi](x,y)=x_1y_1+x_2y_2+x_3y_3[/mathi] и базис от векторите [mathi]e_1,e_2,e_3[/mathi].

Постройте ортогонален базис изхождайки от векторите:

[math]\begin{matrix}a_1= 2e_1-e_2+2e_3\\a_2 = -e_1-e_2-e_3\\a_3 = e_1-3e_3\end{matrix}[/math]

Задача 10. Дадено е Евклидово пространство [mathi]R_4[/mathi] със скаларно произведение [mathi](x,y)=x_1y_1+x_2y_2+x_3y_3+x_4y_4[/mathi]. Докажете, че системата от векторите [mathi]a_1,a_2[/mathi] е ортогонална и я допълнете до ортогонален базис, ако:

[math]\begin{matrix}a_1= (1,-1,-1,3)\\a_2 = (1,1,-3,-1)\end{matrix}[/math]

Задача 11. Дадено е Евклидово пространство [mathi]R_4[/mathi] със скаларно произведение [mathi](x,y)=x_1y_1+x_2y_2+x_3y_3+x_4y_4[/mathi].

Намерете ортонормиран базис на ортогоналното допълнение на линейната обвивка на векторите:

[math]\begin{matrix}a_1= (1,1,1,1)\\a_2 = (2,2,-1,-1)\\a_3 = (1,1,-2,-2)\end{matrix}[/math]

Задача 12. Дадено е Евклидово пространство [mathi]R_4[/mathi] със скаларно произведение [mathi](x,y)=x_1y_1+x_2y_2+x_3y_3+x_4y_4[/mathi].

Намерете ортонормиран базис на ортогоналното допълнение на линейната обвивка на векторите:

[math]\begin{matrix}a_1= (1,1,1,1)\\a_2 = (3,1,-1,-1)\\a_3 = (-1,0,3,4)\end{matrix}[/math]