C, PHP, VB, .NET

Комплексните числа не са задължително свързани с предмета Линейна алгебра. Въпреки това повечето курсове по ЛА обикновено започват с подобен бърз преглед, защото най-малкото това дава предварителен усет за работата с вектори (формират векторно пространство над реалните числа с размерност 2, но за това по-нататък), както и предразполага към по-абстрактно мислене.

Деф. Комплексно число наричаме наредената двойка реални числа (a,b), за които са в сила:

1) Сбор: (a₁, b₁) + (a₂, b₂) = (a₁+a₂, b₁+b₂)

2) Разлика: (a₁, b₁) - (a₂, b₂) = (a₁-a₂, b₁-b₂)

3) Умножение: (a₁, b₁).(a₂, b₂) = (a₁a₂ - b₁b₂, a₁b₂ +a₂b₁)

4) Деление:

[math]\frac{(a_{1}, b_{1})}{(a_{2}, b_{2})} = \left(\frac{a_{1}a_{2}+b_{1}b_{2}}{a_{2}^2 + b_{2}^2}, \frac{b_{1}a_{2}-b_{2}a_{1}}{a_{2}^2 + b_{2}^2}\right) [/math]

Деф. Числата от вида (a,0) наричаме "реални", а числата (0,b) наричаме "имагенерни"

Деф. Числото (0,1) наричаме "имагенерна единица" и я бележим с буквата "i"

Свойства: Лесно можете да проверите, че:

1) (b,0).(0,1) = (0,b)

2) (a,b).(1,0) = (a,b)

Деф. Алгебричен вид на комплексното число (a,b) наричаме числото a + bi

Задача 1. Намерете i². Запишете решението в алгебричен вид.

Решение: i = (0,1) => i² = (0,1).(0,1)

От свойство 3) => (0,1).(0,1) = (0.0 - 1.1, 0.1 + 0.1) = (-1, 0)

В алгебричен вид (-1,0) е числото -1+0.i

=> i²= -1

Следствиe 1: В множеството на реалните числа знаете, че задачата x²=-1 няма решение. В множеството на комплексните числа обаче има - решението е x=i.

Следствие 2: Ако коренуваме от двете страни на равенството, се получава следното:

[math]\sqrt{i^2} = \sqrt{-1} \Rightarrow i=\sqrt{-1}[/math]

Задача 2. Намерете i³

Решение: i³= i².i = -1.i = -i

Задача 3. Намерете i⁴

Решение: i⁴= i³.i = -i.i = -i² = -(-1) = 1

Задача 4. Намерете i⁵

Решение: i⁵= i⁴.i = 1.i = i

Задача 5. (*) Намерете i²⁰¹²

Упътване: Възползвайте се от цикличност като забележите, че i = i⁵, i² = i⁶, и т.н.

Задача 6. Изчислете (3,1).(2,-2)

Решение - вариант 1: Може да използвате директно формулата:

(3,1).(2,-2) = (3.2 - 1.(-2), 3(-2) + 1.2) = (6 + 2, -6 + 2) = (8, -4)

Решение - вариант 2: Може да запишете числата в алгебричен вид и да разкриете скобите:

(3+i).(2-2i) = 3.2 - 3.2i + i.2 - i.2.i = 6 - 6i + 2i - 2i² = 6 - 4i + 2 = 8 - 4i

Последното число е именно (8,-4)

Задача 7. Нека z₁ = 2+3i и z₂ = 5-i

Намерете:

a) z₁ + z₂

Решение: 2+3i + 5-i = 7 + 2i

б) z₁ - z₂

Решение: 2+3i - (5-i) = 2+3i-5+i = -3+4i

в) z₁z₂

Решение: (2+3i).(5-i) = 10 - 2i + 15i -3i² = 10 +13i +3 = 13+13i

г) z₁/z₂

Решение: Ще решим задачата в алгебричен вид

[math]\frac{(2+3i)}{(5-i)} = \frac{(2+3i)}{(5-i)}*\frac{(5+i)}{(5+i)} = \frac{10+2i+15i+3i^2}{25+5i-5i-i^2} = \frac{7+17i}{26}[/math]

Проверете по формулата за деление на комплексно число дали (2,3)/(5,-1) = (7/26, 17/26)

Деф. Числото (a, -b) се нарича комплексно спрегнато на (a, b).

Свойства:

1) (a,b).(a,-b) = (a,b)² = (a²+b², 0)

Записано в алгебричен вид това означава, че (a+bi).(a-bi) = a²+b²

Именно това свойство използвахме в задача 7г), за да получим реално число в знаменателя.

2) (a,b)+(a,-b) = (2a, 0)

Записано в алгебричен вид имаме a+bi + a-bi = 2a

3) (a,b)-(a,-b) = (a-a, b+b) = (0,2b)

Записано в алгебричен вид имаме a+bi - (a-bi) = 2bi

Задача 8. Намерете корените на квадратното уравнение x²-3x+4=0

Решение: Дискриминантата на уравнението е D = 9-16 = -7

[math]\Rightarrow x_{1,2} = \frac{3\pm \sqrt{-7}}{2}[/math]

Да, но ние знаем, че [mathi] \sqrt{-7} = \sqrt{7.(-1)} = \sqrt{7}.\sqrt{-1} = \sqrt{7}i[/mathi]

[math]\Rightarrow x_{1} = \frac{3}{2}+\frac{\sqrt{7}i}{2}[/math]

[math]\Rightarrow x_{2} = \frac{3}{2}-\frac{\sqrt{7}i}{2}[/math]

Задача 9. Намерете корените на квадратното уравнение x²-6x+13 = 0

Решение: Дискриминантата D = 36-52 = -16

[math]\Rightarrow x_{1,2}=\frac{6\pm4i}{2}[/math]

[mathi]\Rightarrow x_{1}= 3+2i[/mathi] и [mathi]\Rightarrow x_{2}= 3-2i[/mathi]

Задача 10. Решете квадратното уравнение x²-6x+7-i = 0

Решение: Дискриминантата D = 25 - 4(7-i) = 25-28+4i = -3+4i

За да намерим корените ще ни е нужно да намерим [mathi]\sqrt{D}=\sqrt{-3+4i}[/mathi].

Методът за решаване на подобни задачи е следният: приемаме, че [mathi]\sqrt{D}=a+bi[/mathi]. Повдигаме на квадрат:

=> D = (a+bi).(a+bi) = a²-b²+2abi.

От тук можем да съставим следното равенство:

a²-b²+2abi = -3+4i

Две комплекни числа са равни тогава, когато реалните им части (числата без "i") са равни и имагенерните им части (числата с "i") са равни. Следователно получаваме системата:

[math]\left | \begin{array}{lcr}a^{2}-b^{2}&=&-3\\2ab&=&4\end{array} \right .[/math]

От второто уравнение намираме, че [mathi]a=\frac{2}{b}[/mathi], което заместваме в първото уравнение. Получаваме:

[math]\frac{4}{b^{2}} - b^{2} = -3[/math]

[math]\Rightarrow b^{4}-3b^{2}-4 = 0[/math]

Това е биквадратно уравнение. Полагаме b²=k и заместваме:

[math]k^{2}-3k-4 =0[/math]

Решенията на това квадратно уравнение са k₁=4 и k₂=-1. От полагането получаваме: b₁=2, b₂=-2, b₃=i, b₄=-i

По дефиниция обаче b трябва да е реално число (виж дефиницията за комплексно число в началото). Следователно b₃ и b₄ отпадат. От тук намерихме, че решенията са:

b₁=2, b₂=-2

откъдето намираме и

a₁=1, a₂=-1

От тук вече намираме и търсения корен квадратен на дискриминантата:

[math]\sqrt{D} = \sqrt{-3+4i} = \pm(1+2i)[/math]

Вече можем да решим квадратното уравнение:

[math]x_{1,2} = \frac{5\mp(1+2i)}{2}[/math]

или окончателно имаме [mathi]x_{1}=3+i[/mathi] и [mathi]x_{2}=2-i[/mathi]

Задача 11. Опростете израза:

[math]\frac{(1+i)^{3}-(1-i)^{4}}{(4-2i)(3-2i)}[/math]

Решение: Разкриваме скобите:

[math]\frac{(1+i)^{3}-(1-i)^{4}}{(4-2i)(3-2i)} = \frac{(1+i)^{2}(1+i)-((1-i)^{2})^{2}}{12-6i-8i+4i^{2}}=\frac{(1+2i+i^{2})(1+i)-(1-2i+i^{2})^{2}}{8-14i} =[/math]

[math]= \frac{2i(1+i)-(-2i)^{2}}{8-14i}=\frac{2i+2i^{2}-4i^{2}}{8-14i}=\frac{2+2i}{8-14i} = \frac{1+i}{4-7i}[/math]

Умножаваме числителя и знаменателя по комплексно спрегнатото на значенателя:

[math]= \frac{(1+i)(4+7i)}{(4-7i)(4+7i)} = \frac{4i-7+4+7i}{4^{2}+y^{2}} = \frac{-3+11i}{65}=\frac{-3}{65}+\frac{11}{65}i[/math]

Задача 12. Намерете x и y от уравнението:

[math]\frac{2x+3-4yi}{1-i}=2+3i[/math]

Решение: В такива задачи ще се стремим да държим неизвестните от едната страна на равенството, като същевременно опростяваме изразите възможно най-много. Умножаваме двете страни на равенството с (1-i), за да премахнем знаменателя:

[math]2x+3-4yi=(2+3i)(1-i)[/math]

[math]\Rightarrow 2x+3-4yi = 2-2i+3i-3i^{2}[/math]

[math]\Rightarrow 2x+3-4yi = 2+i+3[/math]

[math]\Rightarrow 2x+3-4yi = 5+i[/math]

За да бъдат две комплексни числа равни, трябва реалните им части да са равни и имагенерните им части да са равни. Тоест имаме системата:

[math]\left | \begin{array}{lcr}2x+3&=&5\\-4y&=&1\end{array}\right .[/math]

От първото уравнение намираме [mathi]x=1[/mathi], а от второто уравнение намираме [mathi]y=-\frac{1}{4}[/mathi]. С това задачата е решена.