C, PHP, VB, .NET

Деф. Матрица ще наричаме правоъгълна таблица попълнена с числа. Комбинацията от брой редове и брой стълбове на матрицата ще наричаме нейна размерност.

Например следната матрица е от размерност 2x3, защото има 2 реда и 3 стълба:

[math]\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3\\ 4 & 5 & 6 \end{pmatrix}[/math]

докато следващата матрица е от размерност 3x2, защото има 3 реда и 2 стълба:

[math]\begin{pmatrix} 1 & 5\\ 3 & 7\\ 5 & 9 \end{pmatrix}[/math]

Деф. Ще казваме, че една матрица е "квадратна" тогава и само тогава, когато броят на редовете ѝ е равен на броя на стълбовете й.

Деф. Ако една матрица има само един ред, ще казваме, че тя е "матрица ред".

Деф. Ако една матрица има само един стълб, ще казваме, че тя е "матрица стълб".

Деф. Ако всички елементи на една матрица са числото "0", ще казваме, че тази матрица е "нулева". Забележете, че можем да имаме нулева матрица от различни размерности. Например следните две матрици са нулеви, но са от различни размерности:

[math]\begin{pmatrix} 0 & 0\\ 0 & 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 & 0\\ 0 & 0\\ 0 & 0 \end{pmatrix}[/math]

Деф. "Диагонална" на наричаме матрица от вида:

[math]\begin{pmatrix} a_{11} & 0 & \cdots & 0 & 0\\ 0 & a_{22} & \cdots & 0 & 0\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots\\ 0 & 0 & \cdots & a_{n-1,n-1} & 0\\ 0 & 0 & \cdots & 0 & a_{nn} \end{pmatrix}[/math]

Казано по друг начин - диагонална е квадратна матрица, която има елементи различни от нула само по нейния "главен диагонал". Например диагонална е следната матрица:

[math]\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & -1 & 0\\ 0 & 0 & 4 \end{pmatrix}[/math]

Деф. "Триъгълна" е квадратна матрица, на която всички елементи под главния диагонал са равни на нула.

Например следната матрица е триъгълна:

[math]\begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 & 5\\ 0 & 7 & 3 & 4\\ 0 & 0 & 1 & 2\\ 0 & 0 & 0 & 5 \end{pmatrix}[/math]

Деф. "Скаларна" е диагонална матрица, на която елементите по главния диагонал на равни. Например следната матрица е скаларна:

[math]\begin{pmatrix} 5+i & 0 & 0\\ 0 & 5+i & 0\\ 0 & 0 & 5+i \end{pmatrix}[/math]

Деф. "Единична" е скаларна матрица, на която елементите по главния диагонал са равни на 1. Например следната матрица е единична от размерност 4x4:

[math]\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}[/math]

Деф. "Симетрична" е квадратна матрица, на която елементите под главния диагонал са "огледални" спрямо тези над главния диагонал. Формално записано, за да бъде една матрица {a_ij} симетрична, трябва за всяко i и j да е изпълнено a_ij = a_ji. Например следната матрица е симетрична:

[math]\begin{pmatrix} -2 & 1 & 0 & 3\\ 1 & 2 & 4 & 12\\ 0 & 4 & 3 & -3\\ 3 & 12 & -3 & 13 \end{pmatrix}[/math]

Деф. "Антисиметрична" е квадратна матрица, на която елементите под главния диагонал са "огледални", но с обратен знак на тези над главния диагонал, а елементите по главния диагонал са равни на 0. Формално записано това означава, че a_ij = -a_ji за всяко i и j. Например следната матрица е антисиметрична:

[math]\begin{pmatrix} 0 & 2 & 3\\ -2 & 0 & -1\\ -3 & 1 & 0 \end{pmatrix}[/math]

Деф. Ако обърнем една матрица A, като запишем нейните елементи от редове по стълбове, ще казваме, че сме получили "транспонирана матрица" A^t. Например:

[math]A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3\\ 4 & 5 & 6 \end{pmatrix}, A^t=\begin{pmatrix} 1 & 4\\ 2 & 5\\ 3 & 6 \end{pmatrix}[/math]

Нека сега разгледаме основните операции с матрици. Те са "сбор", "разлика", "умножение с число" и "умножение на матрици".

Сбор на матрици: За да можем да съберем две матрици, те трябва да са от една и съща размерност. Всеки елемент a_i,j от едната матрица се събира със съответния му елемент b_i,j от другата и се нанася на i-ти ред и j-ти стълб в резултатната матрица. Например:

[math]\begin{pmatrix} 1 & 2\\ 3 & 4\\ 5 & 6 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} -3 & 1\\ 7 & 5\\ 1 & 2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1+(-3) & 2+1\\ 3+7 & 4+5\\ 5+1 & 6+2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -2 & 3\\ 10 & 9\\ 6 & 8 \end{pmatrix}[/math]

Разлика на матрици: По същия начин както сбора, но елементите се изваждат. Например:

[math]\begin{pmatrix} 4 & -2\\ -1 & 3 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 2 & 4\\ -3 & 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 4-2 & -2-4\\ -1-(-3) & 3-0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 2 & -6\\ 2 & 3 \end{pmatrix}[/math]

Умножение на матрица с число: Когато умножавате една матрица с число, трябва да умножите всички нейни елементи с това число. Например:

[math]2.\begin{pmatrix} 1 & 2\\ 3 & 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2.1 & 2.2\\ 2.3 & 2.4 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 2 & 4\\ 6 & 8 \end{pmatrix}[/math]

Умножение на матрици: За да можем да умножим две матрици необходимото условие е броят на стълбовете на първата матрица да е равен на броя на редовете на втората. Ако това е изпълнено, ще казваме, че матриците са "съгласувани". Умножението на една матрица с друга се получава по правилото "ред по стълб". Резултатната матрица има толкова редове, колкото редове има първата матрица и толкова стълбове, колкото има втората. Няма да го дефинираме формално, а ще го демонстрираме направо с два примера:

Пример 1:

[math]\begin{pmatrix} 1 & 2\\ 3 & 4\\ 5 & 6 \end{pmatrix}*\begin{pmatrix} 7 & 8\\ 9 & 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1.7+2.9 & 1.8+2.0\\ 2.7+4.9 & 3.8+4.0\\ 5.7+6.9 & 5.8+6.0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 25 & 8\\ 50 & 24\\ 89 & 40 \end{pmatrix}[/math]

Пример 2:

[math]\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3\\ 4 & 5 & 6\\ 7 & 8 & 9 \end{pmatrix}*\begin{pmatrix} 0\\ -i\\ i \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1.0+2.(-i)+3.i\\ 4.0+5.(-i)+6.i\\ 7.0+8.(-i)+9.i \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} i\\ i\\ i \end{pmatrix}[/math]

Следствие: Две квадратни матрици от една и съща размерност винаги са съгласувани (т.е. винаги могат да се умножат една с друга и резултатната матрица ще е от същата размерност както тях).

Пример 3:

[math]\begin{pmatrix} 3+i & 0\\ 1-i & -2i \end{pmatrix}*\begin{pmatrix} 1 & 2\\ 0 & 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} (3+i).1+0.0 & (3+i).2+0.1\\ (1-i)*1+(-2i).0 & (1-i).2+(-2i).1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 3+i & 6+2i\\ 1-i & 2-4i \end{pmatrix}[/math]

Твърдение: Ако умножите една матрица A с нейната съгласувана единична матрица E, резултатната матрица ще е равна на матрицата A. Например:

[math]\begin{pmatrix} 1 & 2\\ 2 & 3\\ 2 & -2 \end{pmatrix}*\begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 & 2\\ 2 & 3\\ 2 & -2 \end{pmatrix}[/math]

Твърдение: Ако умножите една матрица с нейната съгласувана нулева матрица, резултатната матрица ще е нулева матрица. Например:

[math]\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3\\ 2 & 3 & 2 \end{pmatrix}*\begin{pmatrix} 0 & 0\\ 0 & 0\\ 0 & 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & 0\\ 0 & 0 \end{pmatrix}[/math]

Важно: При умножението на квадратни матрици НЕ е винаги вярно, че A.B = B.A! Например:

[math]\begin{pmatrix} 2 & 3\\ 1 & 2 \end{pmatrix}*\begin{pmatrix} 1 & 2\\ 2 & 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 2.1+3.2 & 2.2+3.0\\ 1.1+2.2 & 1.2+2.0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 8 & 4\\ 5 & 2 \end{pmatrix}[/math]

Докато

[math]\begin{pmatrix} 1 & 2\\ 2 & 0 \end{pmatrix}*\begin{pmatrix} 2 & 3\\ 1 & 2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1.2+2.1 & 1.3+2.2\\ 2.2+0.1 & 2.3+0.2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 4 & 7\\ 4 & 6 \end{pmatrix}[/math]

Деф. Ако A.B = B.A, то казваме, че матриците "комутират". Пример за комутиращи матрици са:

[math]A=\begin{pmatrix} 7 & -12\\ -4 & 7 \end{pmatrix}, B=\begin{pmatrix} 3 & 6\\ 2 & 3 \end{pmatrix}[/math]

Направете проверка - A.B трябва да излезе същата матрица както B.A.

Твърдение: Матрицата A.A^t е винаги симетрична. Например:

[math]\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3\\ i & 0 & i \end{pmatrix}*\begin{pmatrix} 1 & i\\ 2 & 0\\ 3 & i \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1.1+2.2+3.3 & 1.i+2.0+3.i\\ i.1+0.2+3.i & i.i+0.0+i.i \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 14 & 4i\\ 4i & -2 \end{pmatrix}[/math]

Виждаме, че елементът под главния диагонал е равен на елемента над главния диагонал, значи матрицата е симетрична.

Задача. Дадени са матриците [mathi]A=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1\\ 1 & 1 & 0\\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}[/mathi] и

[mathi]B=\begin{pmatrix} 1 & i\\ 0 & 2\\ 2i & 1 \end{pmatrix}[/mathi]. Намерете матрицата C = A*2B

Решение: [math]\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1\\ 1 & 1 & 0\\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}*2\begin{pmatrix} 1 & i\\ 0 & 2\\ 2i & 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1\\ 1 & 1 & 0\\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}*\begin{pmatrix} 2 & 2i\\ 0 & 4\\ 4i & 2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 2+4i & 2+2i\\ 2 & 4+2i\\ 4i & 6 \end{pmatrix}[/math]