C, PHP, VB, .NET

* Детерминанти от n-ти ред

Публикувано на 05 юни 2014 в раздел Линейна алгебра.

От предишното упражнение знаем, че основните правила за решаване на детерминанта са две - развиване по ред/стълб и привеждане в триъгълен вид. Нека сега опишем всички основни свойства на детерминантите (някои от които вече бяха споменати в предишното упражнение).

Свойство 1. Ако умножим ред/стълб на детерминанта с число и го прибавим към друг ред/стълб, детерминантата не се променя. Това е основното свойство, което ще използваме, за да привеждаме детерминантите в триъгълен вид.

Свойство 2. Ако детерминанта има изцяло нулев ред или изцяло нулев стълб, то тя е равна на нула. Причината за това е, че ако развием по този ред/стълб, то всяко едно от събираемите ще е умножено по нула, следователно целия сбор ще е нула. Например:

$| \begin{matrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 0 \\ 2 & 1 & 1 \end{matrix} | = 0. (- 1)^{2 + 1} | \begin{matrix} 2 & 3 \\ 1 & 1 \end{matrix} | + 0. (- 1)^{2 + 2} | \begin{matrix} 1 & 3 \\ 2 & 1 \end{matrix} | + 0. (- 1)^{2 + 3} | \begin{matrix} 1 & 2 \\ 2 & 1 \end{matrix} | = 0$

Свойство 3. Ако детерминанта има два пропорционални реда/стълба, то тя е равна на нула. Това е пряко следствие от предишното свойство, защото ако умножим единия ред/стълб с коефициента на пропорционалност с обратен знак и го прибавим към другия ред/стълб, резултата ще е нулев ред/стълб. Например да разгледаме детерминантата:

$| \begin{matrix} 1 & 2 & 1 & 1 \\ 2 & 2 & 2 & 2 \\ 4 & 4 & 4 & 4 \\ 2 & 1 & 2 & 2 \end{matrix} |$

Виждаме, че втори ред и трети ред са пропорционални, с коефициент на пропорционалност 2. Следователно умножаваме втори ред с числото (-2) и го прибавяме към трети ред:

$| \begin{matrix} 1 & 2 & 1 & 1 \\ 2 & 2 & 2 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 2 & 1 & 2 & 2 \end{matrix} | = 0$

Свойство 4. Ако един ред се получава като линейна комбинация от други редове, детерминантата е равна на 0. Това отново се получава като следствие на свойства 1 и 2. Например:

$| \begin{matrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 1 & 1 \\ 5 & 4 & 5 \end{matrix} |$

Трети ред е линейна комбинация на другите два - (5,4,5) = (1,2,3) + 2.(2,1,1). Значи можем да го сведем до нулев ред в две стъпки - първо умножаваме първи ред по -1 и го прибавяме към трети ред:

$| \begin{matrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 1 & 1 \\ 4 & 2 & 2 \end{matrix} |$

И умножаваме втори ред по (-2) и събираме с трети ред:

$| \begin{matrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix} | = 0$

Свойство 5. Ако умножите ред или стълб с число, цялата детерминанта се умножава с това число. Например:

$| \begin{matrix} 1 & 1 & 2 & 1 \\ 2 & 2 & 1 & 2 \\ 4 & 4 & 8 & 8 \\ 2 & 1 & 4 & 2 \end{matrix} | = 4. | \begin{matrix} 1 & 1 & 2 & 1 \\ 2 & 2 & 1 & 2 \\ 1 & 1 & 2 & 2 \\ 2 & 1 & 4 & 2 \end{matrix} |$

Свойство 6. Ако транспонирате детерминантата, тя не се променя. Тоест detA = detA^t

Свойство 7. Ако размените два реда/стълба, детерминантата си сменя знака. Ще използваме това свойство, когато трябва да приведем детерминантата в триъгълен вид.

Свойство 8. detA.B = detA.detB

С помощта на тези свойства вече можем да решаваме и детерминанти от n-ти ред.

Задача 1. Решете детерминантата:

$Δ_{n} = | \begin{matrix} y & 0 & 0 & \dots & 0 & 0 \\ x & y & 0 & \dots & 0 & 0 \\ 0 & x & y & \dots & 0 & 0 \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ & ⋮ \\ 0 & 0 & 0 & \dots & y & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \dots & x & y \end{matrix} |$

Решение: Виждаме директно, че над главния диагонал всички елементи са равни на 0. Следователно детерминантата е в триъгълен вид. Следователно решението е произведението на елементите по главния диагонал:

$Δ_{n} = y^{n}$

Задача 2. Пресметнете детерминантата:

$Δ_{n} = | \begin{matrix} 1 & 1 & 1 & \dots & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 & \dots & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 & \dots & 1 & 1 \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ & ⋮ \\ 1 & 1 & 1 & \dots & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & \dots & 1 & 0 \end{matrix} |$

Решение: Умножаваме първи ред по (-1) и го добавяме последователно към всички останали редове. Ще се получи следното:

$Δ_{n} = | \begin{matrix} 1 & 1 & 1 & \dots & 1 & 1 \\ 0 & - 1 & 0 & \dots & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 1 & \dots & 0 & 0 \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ & ⋮ \\ 0 & 0 & 0 & \dots & - 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \dots & 0 & - 1 \end{matrix} |$

Тази детерминанта вече е в триъгълен вид, следователно тя е равна на произведението на елементите ѝ по главния диагонал:

$Δ_{n} = 1. (- 1)^{n - 1} = (- 1)^{n - 1}$

Задача 3. Пресметнете детерминантата:

$Δ_{n + 1} = | \begin{matrix} 1 & 1 & 1 & \dots & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & \dots & x_{1} & 1 \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ & ⋮ \\ 1 & x_{n - 1} & 1 & \dots & 1 & 1 \\ x_{n} & 1 & 1 & \dots & 1 & 1 \end{matrix} |$

Решение: Умножаваме първи ред по (-1) и прибавяме към всички останали:

$Δ_{n + 1} = | \begin{matrix} 1 & 1 & 1 & \dots & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & \dots & x_{1} - 1 & 0 \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ & ⋮ \\ 0 & x_{n - 1} - 1 & 0 & \dots & 0 & 0 \\ x_{n} - 1 & 0 & 0 & \dots & 0 & 0 \end{matrix} |$

За да сведем детерминантата в триъгълен вид трябва да разменим първия с последния ред, втория с предпоследния, третия с пред-предпоследния и т.н. При всяка размяна детерминантата ще си променя знака. Общия брой на размяните на n+1 елемента е цялата част на числото (n+1)/2 (ако n+1 е четно, то ще имаме точно деление, в противен случай взимаме цялата част - средния стълб няма да бъде местен). Така получихме детерминантата:

$Δ_{n + 1} = (- 1)^{[\frac{n + 1}{2}]} | \begin{matrix} 1 & 1 & 1 & \dots & 1 & 1 \\ 0 & x_{1} - 1 & 0 & \dots & 0 & 0 \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ & ⋮ \\ 0 & 0 & 0 & \dots & x_{n - 1} - 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \dots & 0 & x_{n} - 1 \end{matrix} |$

Вече можем да намерим и крайния отговор:

$Δ_{n + 1} = (- 1)^{[\frac{n + 1}{2}]} .1 . (x_{1} - 1) . (x_{2} - 1) . . . (x_{n} - 1)$

Детерминанта от тип "Пачи крак" наричаме детерминанта от вида:

$Δ_{n + 1} = | \begin{matrix} a_{0} & b_{1} & b_{2} & \dots & b_{n - 1} & b_{n} \\ c_{1} & a_{1} & 0 & \dots & 0 & 0 \\ c_{2} & 0 & a_{2} & \dots & 0 & 0 \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ & ⋮ \\ c_{n - 1} & 0 & 0 & \dots & a_{n - 1} & 0 \\ c_{n} & 0 & 0 & \dots & 0 & a_{n} \end{matrix} |$

Детерминанти от този тип винаги могат да бъдат решени по следния начин - умножавате (n+1)ви ред с (-b_n/a_n) и прибавяте към първи, умножавате (n)ти ред с (-b_n-1/a_n-1) и прибавяте към първи, (n-1)ви ред с (-b_n-2/a_n-2) и прибавяте към първи..., умножавате втори ред с (-b₁/a₁) и прибавяте към първи. По този начин всички числа от b₁ до b_n ще станат 0. Детерминантата ще има следния вид:

$Δ_{n + 1} = | \begin{matrix} A & 0 & 0 & \dots & 0 & 0 \\ c_{1} & a_{1} & 0 & \dots & 0 & 0 \\ c_{2} & 0 & a_{2} & \dots & 0 & 0 \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ & ⋮ \\ c_{n - 1} & 0 & 0 & \dots & a_{n - 1} & 0 \\ c_{n} & 0 & 0 & \dots & 0 & a_{n} \end{matrix} |$

където числото A се получава от натрупването на елементите под него умножени със съответния коефициент:

$A = a_{0} - \frac{c_{1} b_{1}}{a_{1}} - \frac{c_{2} b_{2}}{a_{2}} - . . . - \frac{c_{n} b_{n}}{a_{n}}$

Вече можем да изчислим детерминантата като произведение на числата по главния диагонал:

$Δ_{n + 1} = A . a_{1} a_{2} a_{3} . . . a_{n} = a_{0} . . . a_{n} - c_{1} b_{1} a_{0} a_{2} . . . a_{n} - c_{2} b_{2} a_{0} a_{1} a_{3} . . . a_{n} - . . . - c_{n} b_{n} a_{1} . . . a_{n - 1}$

Или записано по точно това е:

$Δ_{n + 1} = \prod_{i = 0}^{n} a_{i} - \sum_{j = 1}^{n} c_{j} b_{j} a_{0} . . . a_{j - 1} a_{j + 1} . . . a_{n}$

Задачата може да бъде решена аналогично като правите нули по първи стълб, вместо както беше показано по-горе по първи ред.

Задача 4. Решете детерминантата:

$Δ_{n + 1} = | \begin{matrix} 1 & 1 & 1 & \dots & 1 & 1 \\ 7 & 7 & 0 & \dots & 0 & 0 \\ 7 & 0 & 7 & \dots & 0 & 0 \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ & ⋮ \\ 7 & 0 & 0 & \dots & 7 & 0 \\ 7 & 0 & 0 & \dots & 0 & 7 \end{matrix} |$

Решение: Умножаваме всички стълбове от 2ри нататък с (-1) и ги прибавяме към първи стълб:

$Δ_{n + 1} = | \begin{matrix} 1 - n & 1 & 1 & \dots & 1 & 1 \\ 0 & 7 & 0 & \dots & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 7 & \dots & 0 & 0 \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ & ⋮ \\ 0 & 0 & 0 & \dots & 7 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \dots & 0 & 7 \end{matrix} | = (1 - n) {.7}^{n}$

Задача 5. Решете дeтерминантата:

$Δ_{n} = | \begin{matrix} a_{1} & x & x & \dots & x & x \\ x & a_{2} & x & \dots & x & x \\ x & x & a_{3} & \dots & x & x \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ & ⋮ \\ x & x & x & \dots & a_{n - 1} & x \\ x & x & x & \dots & x & a_{n} \end{matrix} |$

Решение: Умножаваме първи ред по (-1) и го събираме с всички останали редове. Ще се получи детерминантата:

$Δ_{n} = | \begin{matrix} a_{1} & x & x & \dots & x & x \\ x - a_{1} & a_{2} - x & 0 & \dots & 0 & 0 \\ x - a_{1} & 0 & a_{3} - x & \dots & 0 & 0 \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ & ⋮ \\ x - a_{1} & 0 & 0 & \dots & a_{n - 1} - x & 0 \\ x - a_{1} & 0 & 0 & \dots & 0 & a_{n} \end{matrix} |$

Това вече е детерминанта от тип "Пачи крак", която се решава по познатия начин. Отговорът е:

$Δ_{n} = a_{1} (a_{2} - x) . . . (a_{n} - x) - \sum_{i = 2}^{n} (x - a_{i}) . x . (a_{2} - x) . . . (a_{i - 1} - x) (a_{i + 1} - x) . . . (a_{n} - x)$

Задача 6. Решете детерминантата:

$Δ_{n} = | \begin{matrix} 2 & 1 & 0 & \dots & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 1 & \dots & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 2 & \dots & 0 & 0 \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ & ⋮ \\ 0 & 0 & 0 & \dots & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & \dots & 1 & 2 \end{matrix} |$

(по главния диагонал имаме 2ки, под и над него 1ци, а всички останали елементи са нули).

Решение: Това също е специален клас детерминанти, които могат да се решат по следния начин: Развиваме детерминантата по първи ред:

$Δ_{n} = 2. (- 1)^{1 + 1} . | \begin{matrix} 2 & 1 & 0 & \dots & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 1 & \dots & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 2 & \dots & 0 & 0 \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ & ⋮ \\ 0 & 0 & 0 & \dots & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & \dots & 1 & 2 \end{matrix} | + 1. (- 1)^{2 + 1} | \begin{matrix} 1 & 0 & 0 & \dots & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 1 & \dots & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 2 & \dots & 0 & 0 \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ & ⋮ \\ 0 & 0 & 0 & \dots & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & \dots & 1 & 2 \end{matrix} |$

И двете детерминанти са от ред (n-1) - с едно по-малък от оригиналната. Първата детерминанта е просто $Δ_{n - 1}$ . Нека разгледаме втората - ако я развием по първи ред ще получим точно $1. Δ_{n - 2}$ . От тук получихме рекурсивната зависимост:

$Δ_{n} = 2 Δ_{n - 1} - Δ_{n - 2}$

Задачи от типа $Δ_{n} = p Δ_{n - 1} + q Δ_{n - 2}$ се решават по следния начин:

1. Намирате корените на уравнението $x^{2} - p x - q = 0$ . Нека тези корени са $α$ и $β$ .

2. Ако $α \neq β$ , то решението е:

$Δ_{n} = c_{1} α^{n} + c_{2} β^{n}$

където:

$c_{1} = \frac{Δ_{2} - β Δ_{1}}{α (α - β)}, c_{2} = \frac{Δ_{2} - α Δ_{1}}{β (β - α)}$

3. Ако $α = β$ , то решението е:

$Δ_{n} = ((n - 1) c_{1} + c_{2}) α^{n}$

където:

$c_{1} = \frac{Δ_{2} - α Δ_{1}}{α^{2}}, c_{2} = \frac{Δ_{1}}{α}$

Вече можем да решим задачата. Припомняме, че имаме

$Δ_{n} = 2 Δ_{n - 1} - Δ_{n - 2}$

тоест p=2, q=-1. Решаваме уравнението: x²-2x+1=0. Неговите корени са $α = β = 1$ . Следователно ще търсим решението по формулата в точка 3:

$Δ_{1} = | \begin{matrix} 2 \end{matrix} | = 2, Δ_{2} = | \begin{matrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{matrix} | = 3$

$Δ_{n} = ((n - 1) . \frac{(3 - 1.2)}{1^{2}} + \frac{2}{1}) {.1}^{n} = n - 1 + 2 = n + 1$

Детерминанта на Вандермонд: Този специален вид детерминанта има вида:

$W_{n} (x_{1}, . . ., x_{n}) = | \begin{matrix} 1 & 1 & 1 & \dots & 1 & 1 \\ x_{1} & x_{2} & x_{3} & \dots & x_{n - 1} & x_{n} \\ x_{1}^{2} & x_{2}^{2} & x_{3}^{2} & \dots & x_{n - 1}^{2} & x_{n}^{2} \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ & ⋮ \\ x_{1}^{n - 1} & x_{2}^{n - 1} & x_{3}^{n - 1} & \dots & x_{n - 1}^{n - 1} & x_{n}^{n - 1} \end{matrix} |$

При такава детерминанта правим следното: умножаваме (n-1)ви ред с (-x₁) и го прибавяме към n-ти, умножаваме (n-2)ри ред с (-x₁) и го прибавяме към (n-1)ви, ... , умножаваме 2-ри ред с (-x₁) и го прибавяме към 3-ти, умножаваме 1-ви ред с (-x₁) и го прибавяме към 2-ри:

$W_{n} (x_{1}, . . ., x_{n}) = | \begin{matrix} 1 & 1 & 1 & \dots & 1 & 1 \\ 0 & x_{2} - x_{1} & x_{3} - x_{1} & \dots & x_{n - 1} - x_{1} & x_{n} - x_{1} \\ 0 & x_{2}^{2} - x_{1} x_{2} & x_{3}^{2} - x_{1} x_{3} & \dots & x_{n - 1}^{2} - x_{1} x_{n - 1} & x_{n}^{2} - x_{1} x_{n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ & ⋮ \\ 0 & x_{2}^{n - 1} - x_{1} x_{2}^{n - 2} & x_{3}^{n - 1} - x_{1} x_{3}^{n - 2} & \dots & x_{n - 1}^{n - 1} - x_{1} x_{n - 1}^{n - 2} & x_{n}^{n - 1} - x_{1} x_{n}^{n - 2} \end{matrix} |$

Развиваме детерминантата по първи стълб:

$W_{n} (x_{1}, . . ., x_{n}) = 1. | \begin{matrix} x_{2} - x_{1} & x_{3} - x_{1} & x_{4} - x_{1} & \dots & x_{n - 1} - x_{1} & x_{n} - x_{1} \\ x_{2} (x_{2} - x_{1}) & x_{3} (x_{3} - x_{1}) & x_{4} (x_{4} - x_{1}) & \dots & x_{n - 1} (x_{n - 1} - x_{1}) & x_{n} (x_{n} - x_{1}) \\ x_{2}^{2} (x_{2} - x_{1}) & x_{3}^{2} (x_{3} - x_{1}) & x_{4}^{2} (x_{4} - x_{1}) & \dots & x_{n - 1}^{2} (x_{n - 1} - x_{1}) & x_{n}^{2} (x_{n} - x_{1}) \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ & ⋮ \\ x_{2}^{n - 2} (x_{2} - x_{1}) & x_{3}^{n - 2} (x_{3} - x_{1}) & x_{4}^{n - 2} (x_{4} - x_{1}) & \dots & x_{n - 1}^{n - 2} (x_{n - 1} - x_{1}) & x_{n}^{n - 2} (x_{n} - x_{1}) \end{matrix} |$

сега от първи стълб изваждаме (x₂-x₁), от втори стълб изваждаме (x₃-x₁), ..., от n-1ви стълб изваждаме (x_n-x₁). Тоест използваме свойство 5 от началото на статията. Получаваме следното:

$W_{n} (x_{1}, . . ., x_{n}) = (x_{2} - x_{1}) (x_{3} - x_{1}) . . . (x_{n} - x_{1}) | \begin{matrix} 1 & 1 & 1 & \dots & 1 & 1 \\ x_{1} & x_{2} & x_{3} & \dots & x_{n - 1} & x_{n} \\ x_{1}^{2} & x_{2}^{2} & x_{3}^{2} & \dots & x_{n - 1}^{2} & x_{n}^{2} \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ & ⋮ \\ x_{1}^{n - 2} & x_{2}^{n - 2} & x_{3}^{n - 2} & \dots & x_{n - 1}^{n - 2} & x_{n}^{n - 2} \end{matrix} |$

Или записано по друг начин това е следната рекурентна зависимост:

$W_{n} (x_{1}, . . ., x_{n}) = (x_{2} - x_{1}) (x_{3} - x_{1}) . . . (x_{n} - x_{1}) W_{n - 1} (x_{2}, . . ., x_{n})$

Окончателно ще получим:

$W_{n} = (x_{2} - x_{1}) (x_{3} - x_{1}) . . . (x_{n} - x_{1}) (x_{3} - x_{2}) (x_{4} - x_{2}) . . . (x_{n} - x_{2}) . . . . . . (x_{n - 1} - x_{n - 2}) (x_{n} - x_{n - 2}) (x_{n} - x_{n - 1})$

« Предишна статияСледваща статия »

Дневникът на Филип Петров

* Детерминанти от n-ти ред

Добави коментар