C, PHP, VB, .NET

Системите от линейни уравнения са частен случай на матричните уравнения. Ще разгледаме методът на Гаус за решаване на такива системи.

Нека е дадена системата от линейни уравнения:

[math]\left|\begin{matrix} a_{11}x_1+a_{12}x_2+...+a_{1n}x_n=b_1\\ a_{21}x_1+a_{22}x_2+...+a_{2n}x_n=b_2\\ \cdots \\ a_{n1}x_1+a_{n2}x_2+...+a_{nn}x_n=b_n\\ \end{matrix}\right.[/math]

Деф. Матрицата [mathi]A=\begin{pmatrix} a_{11} & \cdots & a_{1n}\\ \vdots & \ddots & \vdots\\ a_{n1} & \cdots & a_{nn} \end{pmatrix}[/mathi] ще наричаме "матрица на системата от линейни уравнения".

Деф. Матрицата [mathi]\left(A\left|\begin{matrix}b_1\\\cdots\\b_n\end{matrix}\right)\right.[/mathi] ще наричаме "разширена матрица на системата".

Метод на Гаус: Прилагаме елементарни преобразувания (умножаване на ред с число, умножаване на ред с число и прибавяне към друг ред и разместване на местата на два реда) върху матрицата A, като се стремим да я приведем в диагонален вид (нули под и над главния диагонал). Същите преобразувания се прилагат паралелно и върху матрицата-стълб [mathi]b_1, ..., b_n[/mathi]. В крайна сметка ще се получи един от следните три варианта:

1) Матрица А се свежда до единичната матрица:

[math]\left( \begin{matrix}1 & 0 & 0&\cdots & 0 & 0\\ 0& 1 & 0 &\cdots &0 &0\\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots\\ 0& 0& 0&\cdots & 0&1 \end{matrix}\left|\begin{matrix}c_1\\c_2\\\cdots\\c_n\\\end{matrix}\right)\right.[/math]

В този случай имаме единствено решение, а именно:

[math]\left|\begin{matrix}x_1 = c_1\\x_2 = c_2\\ \cdots\\x_n = c_n\end{matrix} \right.[/math]

2) В матрица A се получава един или повече нулеви реда, на които съответстват нули в допълнителната колона от разширената матрица:

[math]\left( \begin{matrix}1 & 0 & 0&\cdots&0&*&\cdots& * & *\\ 0& 1 & 0 &\cdots&0&*&\cdots&* &*\\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots&\cdots&\cdots&\cdots\\ 0&0&0&\cdots&1&*&\cdots&*&*\\ 0&0&0&\cdots&0&0&\cdots&0&0\\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots&\cdots&\cdots&\cdots\\ 0&0&0&\cdots&0&0&\cdots&0&0\\ \end{matrix}\left|\begin{matrix}c_1\\c_2\\\cdots\\c_i\\0\\\cdots\\0\\\end{matrix} \right) \right.[/math]

В този случай системата има безброй много решения. Всички [mathi]x_{i+1}, ..., x_{n}[/mathi] се полагат равни на съответни параметри и останалите [mathi]x_{1}, ..., x_{i}[/mathi] се изразяват чрез тези параметри.

3) Същото както в случай 2) (получили са се нулеви редове в матрица A от ред i+1 до ред n), но в някоя от стойностите b_i+1 до b_n след преобразуванията (например j) се е получило число различно от нула:

[math]\left( \begin{matrix}1 & 0 & 0&\cdots&0&*&\cdots& * & *\\ 0& 1 & 0 &\cdots&0&*&\cdots&* &*\\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots&\cdots&\cdots&\cdots\\ 0&0&0&\cdots&1&*&\cdots&*&*\\ 0&0&0&\cdots&0&0&\cdots&0&0\\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots&\cdots&\cdots&\cdots\\ 0&0&0&\cdots&0&0&\cdots&0&0 \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots&\cdots&\cdots&\cdots\\0&0&0&\cdots&0&0&\cdots&0&0\\ \end{matrix}\left|\begin{matrix}c_1\\c_2\\\cdots\\c_i\\0\\\cdots\\c_j\\\cdots\\0\\\end{matrix}\right)\right.[/math]

В този случай системата няма решение. В този случай ще казваме още, че системата е несъвместима.

Задача 1. Решете системата:

[math]\left| \begin{matrix} x_1+2x_2+5x_3=-9\\ x_1-x_2+3x_3=2\\ 3x_1-6x_2-x_3=25 \end{matrix} \right.[/math]

Решение: Образуваме разширената матрица на системата:

[math]\left( \begin{matrix} (1) & 2 & 5\\ 1 & -1 & 3\\ 3 & -6 & -1 \end{matrix} \right| \left. \begin{matrix} 9\\ 2\\ 25 \end{matrix}\right)\sim \left( \begin{matrix} 1 & 2 & 5\\ 0 & (-3) & -2\\ 0 & -12 & -16 \end{matrix} \right| \left. \begin{matrix} 9\\ 11\\ 52 \end{matrix}\right)\sim \left( \begin{matrix} 1 & 2 & 5\\ 0 & -3 & -2\\ 0 & 0 & -8 \end{matrix} \right| \left. \begin{matrix} 9\\ 11\\ 8 \end{matrix}\right)[/math]

Делим последния ред на -8:

[math]\sim \left( \begin{matrix} 1 & 2 & 5\\ 0 & -3 & -2\\ 0 & 0 & (1) \end{matrix} \right| \left. \begin{matrix} 9\\ 11\\ -1 \end{matrix}\right)\sim \left( \begin{matrix} 1 & 2 & 0\\ 0 & (-3) & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{matrix} \right| \left. \begin{matrix} 14\\ 13\\ -1 \end{matrix}\right)\sim \left( \begin{matrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & -3 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{matrix} \right| \left. \begin{matrix} 78/3\\ 13\\ -1 \end{matrix}\right)[/math]

Делим втори ред на -3:

[math]\sim \left( \begin{matrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{matrix} \right| \left. \begin{matrix} 26\\ -13/3\\ -1 \end{matrix}\right)[/math]

От тук намираме решението:

[math]\left|\begin{matrix} x_1=26\\ x_2=-13/3\\ x_3=-1 \end{matrix}\right.[/math]

Задача 2. Решете системата:

[math]\left| \begin{matrix} x_1+x_2+2x_3=4\\ x_1+x_3=2\\ x_1+2x_2+3x_3=7 \end{matrix} \right.[/math]

Решение: Образуваме разширената матрица на системата:

[math]\left( \begin{matrix} 1 & (1) & 2\\ 1 & 0 & 1\\ 1 & 2 & 3 \end{matrix} \right| \left. \begin{matrix} 4\\ 2\\ 7 \end{matrix}\right)\sim \left( \begin{matrix} 1 & 1 & 2\\ (1) & 0 & 1\\ -1 & 0 & -1 \end{matrix} \right| \left. \begin{matrix} 4\\ 2\\ -1 \end{matrix}\right) \sim \left( \begin{matrix} 0 & 1 & 1\\ 1 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 0 \end{matrix} \right| \left. \begin{matrix} 2\\ 2\\ 1 \end{matrix}\right)[/math]

От последния ред следва, че системата е несъвместима, следователно няма решение.

Задача 3. Решете системата:

[math]\left| \begin{matrix} x_1-x_3=2\\ 2x_1+5x_2=7\\ 3x_1+5x_2-x_3=9 \end{matrix} \right.[/math]

Решение: Образуваме разширената матрица на системата:

[math]\left( \begin{matrix} 1 & 0 & (-1)\\ 2 & 5 & 0\\ 3 & 5 & -1 \end{matrix} \right| \left. \begin{matrix} 2\\ 7\\ 9 \end{matrix}\right) \sim\left( \begin{matrix} 1 & 0 & -1\\ 2 & (5) & 0\\ 2 & 5 & 0 \end{matrix} \right| \left. \begin{matrix} 2\\ 7\\ 7 \end{matrix}\right) \sim\left( \begin{matrix} 1 & 0 & -1\\ 2 & 5 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{matrix} \right| \left. \begin{matrix} 2\\ 7\\ 0 \end{matrix}\right)[/math]

Виждаме, че трети ред се получи изцяло нулев и няма друг елемент, с който да можем да работим. Работили сме с втори и с трети стълб, но не и с първи. Следователно полагаме [mathi]x_1=p[/mathi]. Остава да решим системата:

[math]\left| \begin{matrix} p-x_3=2\\ 2p+5x_2=7 \end{matrix} \right.[/math]

=> общото решение на системата е:

[math]\left| \begin{matrix}x_1=p\\ x_2=\frac{7-2p}{5}\\x_3=p-2 \end{matrix} \right.[/math]

Задача 4. Решете системата:

[math]\left| \begin{matrix} 2x_1+3x_2-5x_3+x_4=2\\ 2x_1+3x_2-x_3+3x_4=8\\ 6x_1+9x_2-7x_3+7x_4=18\\4x_1+6x_2-12x_3+x_4=1 \end{matrix} \right.[/math]

Решение: Образуваме разширената матрица на системата:

[math]\left( \begin{matrix} (2) & 3 & -5 & 1\\ 2 & 3 & -1 & 3\\ 6 & 9 & -7 & 7\\ 4 & 6 & -12 & 1\end{matrix} \right| \left. \begin{matrix} 2\\ 8\\ 18\\ 1 \end{matrix}\right) \sim \left( \begin{matrix} 2 & 3 & -5 & 1\\ 0 & 0 & 4 & 2\\ 0 & 0 & 8 & 4\\ 0 & 0 & -2 & (-1)\end{matrix} \right| \left. \begin{matrix} 2\\ 6\\ 12\\ -3 \end{matrix}\right) \sim \left( \begin{matrix} 2 & 3 & -7 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & -2 & -1\end{matrix} \right| \left. \begin{matrix} -1\\ 0\\ 0\\ -3 \end{matrix}\right)[/math]

Имаме изцяло нулеви втори и трети ред и вече няма как да продължим. Работили сме с първи и с четвърти стълб, но не сме работили с втори и с трети. Следователно полагаме [mathi]x_2=p[/mathi] и [mathi]x_3=q[/mathi], откъдето получаваме системата:

[math]\left| \begin{matrix}2x_1+2p-7q=-1\\ -2q-x_4=-3 \end{matrix} \right.[/math]

Откъдето получаваме общото решение на системата:

[math]\left| \begin{matrix}x_1=\frac{7q-3p-1}{2}\\x_2=p\\x_3=q\\x_4=3-2q\end{matrix} \right.[/math]

Деф. Ако в една система от линейни уравнения имаме n уравнения с n неизвестни, за която всички [mathi]b_1=b_2=...=b_n = 0[/mathi], то ще казваме, че системата е хомогенна.

Твърдение: Всяка хомогенна система е съвместима (има решение).

Упътване за доказателство: Когато правите нули под или над даден елемент в матрицата A, последния стълб на разширената матрица няма да се променя, защото той ще остава винаги нулев. Следователно дори даден ред i от А да се получи изцяло нулев, на него винаги ще съответства b_i=0.

Тривиалното решение на една хомогенна система е нулевото ([mathi]x_1=x_2=...=x_n=0[/mathi]).

Задача 5. Решете хомогенната система:

[math]\left| \begin{matrix} 2x_1+3x_2-7x_3+5x_4+2x_5=0\\ 6x_1+3x_2-19x_3+7x_4+8x_5=0\\ 10x_1+22x_2-36x_3+33x_4+23x_5=0\\ 6x_1+8x_2-18x_3+11x_4+37x_5=0\\ 2x_1+13x_2-9x_3+17x_4+14x_5=0 \end{matrix} \right.[/math]

Решение: Можем да напишем разширената матрица на системата, но ние знаем, че последния стълб ще е винаги нулев. Затова ще го пропускаме:

[math]\begin{pmatrix} (2) & 3 & -7 & 5 & 2\\ 6 & 3 & -19 & 7 & 8\\ 10 & 22 & -36 & 33 & 23\\ 6 & 8 & -18 & 11 & 37\\ 2 & 13 & -9 & 17 & 14 \end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix} 2 & 3 & -7 & 5 & 2\\ 0 & -6 & 2 & 8 & 2\\ 0 & 7 & -1 & 8 & 13\\ 0 & -1 & 3 & -4 & 31\\ 0 & 10 & -2 & 12 & 12 \end{pmatrix}[/math]

Делим втори ред на 2 и пети ред на 2:

[math]\sim \begin{pmatrix} 2 & 3 & -7 & 5 & 2\\ 0 & -3 & (1) & 4 & 1\\ 0 & 7 & -1 & 8 & 13\\ 0 & -1 & 3 & -4 & 31\\ 0 & 5 & -1 & 6 & 6 \end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix} 2 & -18 & 0 & 33 & 9\\ 0 & -3 & 1 & 4 & 1\\ 0 & 4 & 0 & 12 & 14\\ 0 & 8 & 0 & -16 & 28\\ 0 & (2) & 0 & 10 & 7 \end{pmatrix}\sim\begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 & 123 & 72\\ 0 & 0 & 1 & 19 & 23/2\\ 0 & 0 & 0 & -8 & 0\\ 0 & 0 & 0 & -56 & 0\\ 0 & 2 & 0 & 10 & 7\end{pmatrix}[/math]

Делим трети ред на -8 и четвърти ред на -56:

[math]\sim\begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 & 123 & 72\\ 0 & 0 & 1 & 19 & 23/2\\ 0 & 0 & 0 & (1) & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 2 & 0 & 10 & 7\end{pmatrix} \sim\begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 & 0 & 72\\ 0 & 0 & 1 & 0 & 23/2\\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 2 & 0 & 0 & 7\end{pmatrix}[/math]

Получихме изцяло нулев ред (четвърти). Работили сме с първи, втори, трети и четвърти стълб, но не сме работили с пети => полагаме [mathi]x_5=p[/mathi]. Остава да решим системата:

[math]\left| \begin{matrix} 2x_1+72p=0\\ x_3+23p/2=0\\ x_4=0\\ 2x_2+7p=0 \end{matrix} \right.[/math]

От тук получаваме общото решение (фундаментална система решения):

[math]\left| \begin{matrix} x_1=-36p\\ x_2=-7p/2\\ x_3=-23p/2\\ x_4=0\\ x_5=p \end{matrix} \right.[/math]

Задача 6. Решете системата:

[math]\left| \begin{matrix} 2x_1+x_2-4x_3+2x_4-2x_5=0\\ x_1+2x_2-2x_3+x_4-x_5=1\\ 7x_1+4x_2-10x_3+5x_4-5x_5=\lambda -2\\ 2x_1-x_2-\mu x_3+x_4-x_5=-1 \end{matrix} \right.[/math]

Където [mathi]\lambda[/mathi] и [mathi]\mu[/mathi] са произволни числа - параметри.

Решение: Забележете, че имаме четири уравнения с пет неизвестни. Това означава, че тази система или ще бъде несъвместима или ще има безброй много решения, зависещи от един параметър.

Образуваме разширената матрица на системата:

[math]\left( \begin{matrix} 3 & 1& -4& 2& -2\\ (1) & 2& -2& 1& -1\\ 7 & 4& -10& 5& -5\\ 2 & -1& -\mu& 1& -1\end{matrix} \right| \left. \begin{matrix} 0 \\1 \\\lambda-2 \\-1 \end{matrix}\right) \sim \left( \begin{matrix} 0 & -5& 2& -1& (1)\\ 1 & 2& -2& 1& -1\\ 0 & -10& 4& -2& 2\\ 0 & -5& 4-\mu& -1& 1\end{matrix} \right| \left. \begin{matrix} -3 \\1 \\\lambda-9 \\-3 \end{matrix}\right) \sim[/math]

[math]\sim\left( \begin{matrix} 0 & -5& 2& -1& 1\\ 1 & -3& 0& 0& 0\\ 0 & 0& 0& 0& 0\\ 0 & 0& 2-\mu& 0& 0\end{matrix} \right| \left. \begin{matrix} -3 \\-2 \\\lambda-3 \\0 \end{matrix}\right)[/math]

От тук трябва да анализираме ситуацията спрямо стойностите на параметрите [mathi]\lambda[/mathi] и [mathi]\mu[/mathi]. Вижда се ясно следното:

1 случай) Ако [mathi]\lambda \neq 3[/mathi], то в трети ред ще имаме нулев ред в матрицата А и ненулева стойност в последния стълб. Следователно системата ще бъде несъвместима.

2 случай) Приемаме, че [mathi]\lambda = 3[/mathi] и [mathi]\mu=2[/mathi]. Матрицата ще бъде:

[math]\left( \begin{matrix} 0 & -5& 2& -1& 1\\ 1 & -3& 0& 0& 0\\ 0 & 0& 0& 0& 0\\ 0 & 0& 0 & 0& 0\end{matrix} \right| \left. \begin{matrix} -3 \\-2 \\0 \\0 \end{matrix}\right)[/math]

Работили сме само с първи и пети стълб. Значи полагаме [mathi]x_2=p[/mathi], [mathi]x_3=q[/mathi] и [mathi]x_4=r[/mathi]. Получаваме системата:

[math]\left| \begin{matrix} -5p+2q-r+x_5=-3\\ x_1-3p=-2 \end{matrix} \right.[/math]

Откъдето намираме общото решение:

[math]\left| \begin{matrix} x_1=3p-2\\ x_2=p\\ x_3=q\\ x_4=r\\ x_5=5p-2q+r-3 \end{matrix} \right.[/math]

3 случай) Приемаме, че [mathi]\lambda = 3[/mathi] и [mathi]\mu \neq 2[/mathi]. Матрицата ще бъде:

[math]\left( \begin{matrix} 0 & -5& 2& -1& 1\\ 1 & -3& 0& 0& 0\\ 0 & 0& 0& 0& 0\\ 0 & 0& 2-\mu& 0& 0\end{matrix} \right| \left. \begin{matrix} -3 \\-2 \\0 \\0 \end{matrix}\right)[/math]

Делим четвърти ред на числото [mathi]2-\mu[/mathi], което е различно от нула (в този случай сме приели, че [mathi]\mu \neq 2[/mathi]):

[math]\left( \begin{matrix} 0 & -5& 2& -1& 1\\ 1 & -3& 0& 0& 0\\ 0 & 0& 0& 0& 0\\ 0 & 0& (1)& 0& 0\end{matrix} \right| \left. \begin{matrix} -3 \\-2 \\0 \\0 \end{matrix}\right)\sim \left( \begin{matrix} 0 & -5& 0& -1& 1\\ 1 & -3& 0& 0& 0\\ 0 & 0& 0& 0& 0\\ 0 & 0& 1& 0& 0\end{matrix} \right| \left. \begin{matrix} -3 \\-2 \\0 \\0 \end{matrix}\right)[/math]

Работили сме с първи, трети и пети стълб, следователно полагаме [mathi]x_2=p[/mathi] и [mathi]x_4=q[/mathi]. Достигаме до системата:

[math]\left| \begin{matrix} -5p-q+x_5=-3\\ x_1-3p=-2\\ x_3=0 \end{matrix} \right.[/math]

Откъдето намираме и общото решение на системата:

[math]\left| \begin{matrix} x_1=3p-2\\ x_2=p\\ x_3=0\\ x_4=q\\ x_5=5p+q-3 \end{matrix} \right.[/math]