C, PHP, VB, .NET

Деф. Казва се, че от съждение p "следва" съждение q, тогава и само тогава когато щом p е вярно, то непременно q е вярно. Записваме го като p⇒q.

Деф. Казва се, че от съжденията p₁, p₂, p₃,... p_n следва съждението q, тогава и само тогава когато щом (p₁∧p₂∧p₃∧...∧p_n) е вярно, то непременно q е вярно.

Деф. "Умозаключение" наричаме съждение, което следва от предишни приети за вярни съждения.

Тъй като умозаключението само по себе си е съждение, то става ясно, че едно умозаключение също може да бъде вярно или грешно. Ще го демонстрираме с няколко примера:

1. (p →q)∧p ⇒ q (модус поленс);
2. (p→q)∧!q ⇒ !p (модус толенс);
3. (p→p₁)∧(p₁ →p₂)∧...∧(p_n→q)∧p ⇒ q (хипотетичен силогизъм).

Пример за модус поленс е следното:

"Ако е 26.03, то Филип има рожден ден" е вярно. Днес е 26.03 - следователно Филип има рожден ден!"

Пример за модус толенс е:

"Ако е 26.03, то Филип има рожден ден" е вярно. Днес НЕ е 26.03 - следователно Филип НЯМА рожден ден!"

Естествено никой не ни ограничава да направим и грешни умозаключения. Например най-често срещаното е "(p→q)∧q ⇒ p". В обучението ние се опитваме да научим учениците именно да НЕ правят грешни или не винаги вярни умозаключения. Можете да проверявате умозаключенията във верностната таблица.

Ясно е, че комбинациите конюнкция, дизюнкция, импликация, равнозначност и отрицание между различни съждения могат да пораждат много различни умозаключения. Най общо обаче разделяме умозаключенията на четири вида:

1. Индуктивни: По общо свойство на част от елементите на множество М ние правим заключение, че всички елементи на множеството имат това свойство;
2. Дедуктивни: По общо свойство на всички елементи на множество М ние правим заключение, че конкретен елемент от М притежава това свойство;
3. Абдуктивни: Правене на заключение за конкретен елемент от множеството М, при направени заключения за други елементи от М;
4. Аналогия: При наличието на съвпадение на изследвано количество свойства на две множества M и N ние правим заключение, че всички свойства на множествата съвпадат.

Индуктивните умозаключения биват два вида - пълни и непълни. Пълна е индукцията, при която заключението е проверено върху всички елементи на множеството - в този случай ние сме проверили вярността на умозаключението си и то е гарантирано вярно. Непълна е индукцията, при която заключението не е проверено върху всички елементи - причина за това може да бъде прекалено голямо количество елементи или множество с безкрайно много елементи. В случай на непълно индуктивно умозаключение ние обикновено приемаме твърдението си за вярно, но винаги има риск това да не е така.

В предишния пример (модус толенс, модус поленс и хипотетичен силогизъм) всички твърдения бяха дедуктивни. Това са "най-сигурните" умозаключения, затова при взимането на важни решения обикновено се стремим да използваме дедукция. Така например е в правото - там се стремим да изследваме всички доказателства подробно, преди от тях да направим умозаключение за виновността на обвиняемия.

При абдуктивните умозаключения има висок риск от грешка. Например когато приемем твърдението "крушката не свети, когато няма ток" за вярно и видим, че "една крушка не свети", то не е задължително, че "няма ток" - причината може да бъде съвсем друга! Затова трябва да избягваме абдуктивни умозаключения. По-добре е да кажем "ако няма ток, то крушката не свети" и "ако жичката е прекъсната, то крушката не свети" - така от тези две съждения можем да направим дедуктивно умозаключение, че "понеже крушката K не свети, то или жичката ѝ е прекъсната, или няма ток". В този смисъл можем да приемем абдукцията за непълна дедукция.

Същото е положението и при умозаключенията по аналогия. Например в два триъгълника елементите са дължините на страните и ъглите им - общо по 6 елемента за триъгълник. Ако сравним по един ъгъл и по една страна от триъгълниците и видим, че те са равни, то можем да направим умозаключение по аналогия, че и другите елементи са с равни мярки. Това обаче може и да НЕ е така - за еднаквост на триъгълници само една страна и ъгъл не са достатъчни условия. Затова умозаключенията по аналогия също са с висок риск за грешка.

Трябва да се каже все пак, че аналогията при изоморфни множества винаги е вярна. Но дори множествата да НЕ са изоморфни, пак можем да използваме аналогията като допълнителен инструмент в обучението. Например можем да направим аналогия между теоремата за умножение на двете страни на равенство с число различно от нула и двете теореми за умножение на двете страни на неравенство с число различно от нула. Тази аналогия НЕ води до винаги вярни умозаключения, но все пак подпомага по-лесното усвояване на материала.

Най-често срещаните методи за борба с грешните или не напълно вярните умозаключения са:

1. Догматичен: Забраняваме нещо да се прави без за обясняване защо - например когато обясняваме на учениците в малките класове, че не трябва да се дели на нула;
2. Контра примери: Показване на частен случай, при който умозаключението НЕ е вярно - например от ax = b не винаги дава решение x = b/a;
3. Доказателство: Чрез позоваване на вярни твърдения, от които логически се извежда грешността на умозаключението - най-добрия метод.

В заключение - старайте се да използвате колкото се може повече дедуктивни, пълни индуктивни и умозаключения с изоморфни аналогии. Винаги избягвайте абдуктивните и се отнасяйте с недоверие към умозаключенията по аналогия без изоморфни множества, както и непълната индукция  - тях можем да използваме като помощно средство, но не и за доказателства на  твърдения!