* Парадоксът с гумата
Публикувано на 27 май 2011 в раздел Физика.
Една автомобилна гума се търкаля по права линия по равен път без да приплъзва. Изминава точно толкова разстояние, колкото е нейната обиколка (периметър), т.е. гумата е направила един пълен оборот. Джантата на гумата очевидно ще опише същата по дължина въображаема следа, както е показано на картинката по-долу:
Очевидно джантата не приплъзва спрямо гумата (или поне това не трябва да става при автомобилните гуми от реалния живот). Така джантата, също както гумата, е направила един пълен оборот. Следователно следата, която е оставила тя след завъртането си също е равна на периметъра й. Получи се, че по-малката окръжност (джантата) има един и същи периметър с по-голямата окръжност (гумата). Къде е уловката?
Джантата се върти с по-малка скорост, тъй като е по-близко до центъра на окръжността.
Хъх? Ъгловата скорост на двата кръга е една и съща! Отговорът се крие другаде.
Ъгловата скорост -да, но линейната?
Точка на окръжността на края на джантата изминава по-малко разстояние от точка на окръжността на края на гумата - както и да се нарича това :)
И защо въображаемата седа оставена от джантата е нарисувана с дължина, равна на тази оставена от гумата, след като сам казваш, че трябва да е по-малка ;-)
Червените линии са разгънатата дължина, а не реална траектория и не е задължително да завършват една над друга. Всъщност чертежът ще е верен, ако гумата се плъзга.
Супер задачка!
Гумата се движи само с въртенето си.
Оста (ако е безкрайно тънка) се движи само заради постъпателното движение на гумата.
Джантата (като междинен случай) се движи заради въртенето си и заради постъпателното движение на гумата.
Е, те са с общ център. Я, пусни колата по джанти, без гуми и пак виж колко оборота ще трябват за същото разстояние :)
Математически коректното обяснение е, че всяка една точка описва различна пространствена (в частност двумерна) крива. Проекциите по оста X на тези криви представляват т.н. "въображаема следа". Всяка една от описаните криви е с различна дължина, но проекциите им по X (пътя) са равни. Единствено за центъра на главината кривата се изражда в права, която е успоредна и равнан на въображаемата следа (тоест проекциата по Y=0). За да обощим: всака точка изминава различен път в пространството, като най-дълъг е пътят на точка от грайфера, а най-къс на оста.
И за да обобщя казаното от по-горе по-образно и разбираемо - гумата не приплъзва спрямо пътя, джантата не приплъзва спрямо гумата, но джантата приплъзва спрямо пътя :)
Ето ви още една интересна задачка - опишете цялата траектория на маркираната точка от джантата и я съпоставете с траекторията на точката от гумата.
Мисля че трябва да е нещо такова:
http://img849.imageshack.us/img849/2306/tire.png
Нещо не се получи хтмл. Зелената линия показва движението на 1 точка от джанатата и понеже се приплъзва долните и краища са заоблени.
Иванчо не е разбрал задачата... Не става дума за обороти, а за оставена следа.
Нищо не приплъзва с нищо. Гумата с джанта не е по-различна от всяка друга окръжност. Всички точки от окръжността, правят един оборот при едно пълно завъртане, независимо колко са отдалечени от центъра и изминават същото разстояние като най-отдалечената точка. Не виждам нищо нелогично и никаква уловка?!?